Sejam
, U e
variáveis aleatórias, e sejam
e
. Demonstre:
(a) Se os vetores
e
são independentes, então
e
são independentes.
(b) Se
e
são independentes e
e
são integráveis, então $E(Z W)=E Z \cdot E W.
(a) Se os vetores
(b) Se
Passo 1
O enunciado define duas variáveis complexas
sendo
variáveis reais.
(a) Queremos mostrar que, se o vetor é independente do vetor
, então as marginais
e
são independentes. Para isso usaremos a definição de independência em termos de probabilidades de eventos marginais.
(b) Sob a mesma hipótese de independência e supondo integráveis, queremos provar
(a) Queremos mostrar que, se o vetor
(b) Sob a mesma hipótese de independência e supondo
Para isso usaremos a linearidade da esperança e o fato de que, para variáveis reais integráveis e independentes,
.
Passo 2
Prova de (a): seja
e
. Então
Pela independência de
e
temos
Mas
e
. Logo
o que é exatamente a independência de
e
.
Passo 3
Concluímos, portanto, que
e
são independentes sempre que
e
forem independentes.
Passo 4
Prova de (b): expandimos o produto das variáveis complexas:
Como
são independentes de
e todas são integráveis, vale para cada par de funções reais integráveis
Em particular
Passo 5
Tomando esperança em
e usando a expansão do passo anterior, obtemos
Por outro lado,
Comparando, vemos que
Resposta
(a) De
independente de
segue que
é independente de
.
(b) Se além disso são integráveis, então
(b) Se além disso