Sejam X, Y, U e V^<^<variáveis aleatórias, e sejam Z=X+i Y e W^prime=U+i V. Demonstre:
(a) Se os vetores (X, Y) e (U, V) são independentes, então X e U são independentes.
(b) Se (X, Y) e (U, V) são independentes e X, Y, U e V são integráveis, então $E(Z W)=E Z \cdot E W.

Passo 1

O enunciado define duas variáveis complexas
Z = X + iY, W' = U + iV,
sendo X,Y,U,V variáveis reais.
(a) Queremos mostrar que, se o vetor (X,Y) é independente do vetor (U,V), então as marginais X e U são independentes. Para isso usaremos a definição de independência em termos de probabilidades de eventos marginais.
(b) Sob a mesma hipótese de independência e supondo X,Y,U,V integráveis, queremos provar
E(Z,W') ;=; E(Z),l(E(W')r)
Para isso usaremos a linearidade da esperança e o fato de que, para variáveis reais integráveis e independentes, E(XU)=E(X),E(U).

Passo 2

Prova de (a): seja AsubsetR e BsubsetR. Então
Xin A,;Uin B =(X,Y)in AtimesR,;(U,V)in BtimesR
Pela independência de (X,Y) e (U,V) temos
Pl(Xin A,;Uin Br) = Pl((X,Y)in AtimesR,;(U,V)in BtimesRr) = Pl((X,Y)in AtimesRr); Pl((U,V)in BtimesRr)
Mas Pl((X,Y)in AtimesRr)=P(Xin A) e Pl((U,V)in BtimesRr)=P(Uin B). Logo
Pl(Xin A,;Uin Br) = P(Xin A);P(Uin B),
o que é exatamente a independência de X e U.

Passo 3

Concluímos, portanto, que X e U são independentes sempre que (X,Y) e (U,V) forem independentes.

Passo 4

Prova de (b): expandimos o produto das variáveis complexas:
Z,W' = (X + iY),(U + iV) = XU - YV + i,(XV + YU)
Como X,Y são independentes de U,V e todas são integráveis, vale para cada par de funções reais integráveis
El(f(X,Y),g(U,V)r) = El(f(X,Y)r);El(g(U,V)r)
Em particular
E(XU)=E(X),E(U), E(YV)=E(Y),E(V), E(XV)=E(X),E(V), E(YU)=E(Y),E(U)

Passo 5

Tomando esperança em Z,W' e usando a expansão do passo anterior, obtemos
E(Z,W') = E(XU) - E(YV) + il(E(XV)+E(YU)r) = E(X),E(U) - E(Y),E(V) + il(E(X),E(V) + E(Y),E(U)r)
Por outro lado,
E(Z);E(W') = l(E(X)+i,E(Y)r);l(E(U)+i,E(V)r) = E(X),E(U) - E(Y),E(V) + il(E(X),E(V)+E(Y),E(U)r)
Comparando, vemos que
E(Z,W') = E(Z),E(W')

Resposta

(a) De (X,Y) independente de (U,V) segue que X é independente de U.
(b) Se além disso X,Y,U,V são integráveis, então
E(Z,W') = E(Z);E(W')

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