(a) Suponha que X sim exp (lambda) e mostre que a função caracteristica de X é varphi(x)=lambdalambda-i t=lambda^2+i t lambdalambda^2+t^2.
(b) Seja Y exponencial dupla com densidade
fY(y)=lambda2 e^-i|y|, y in R
Calcule a função caracteristica de Y. (Sugestão. Use simétria e o item (a)).
(c) Demonstre: se Z e W sào independentes e identicamente distribuidas, com Z sim exp (lambda), então Z-W é exponencial dupla.

Passo 1

O enunciado trata de funções características de variáveis aleatórias. No item (a) precisamos usar a definição
para . No item (b) temos com densidade
e vamos usar simetria de e o resultado de (a) para obter . No item (c) mostramos que, se e são iid , então tem densidade de “exponencial dupla”, o que pode ser feito usando produto de funções características.

Passo 2

Queremos
varphiX(t)=integral0^inftye^i t x,lambda e^-lambda x,dx =lambdaintegral0^inftye^-(lambda - i t)x,dx
Como Re(lambda - i t)=lambda>0, a integral converge e vale
integral0^inftye^-(lambda - i t)x,dx =1lambda - i t
Logo
varphiX(t) =lambdalambda - i t
Para separar parte real e imaginária, multiplica-se numerador e denominador por lambda + i t:
varphiX(t) =lambda(lambda + i t)(lambda - i t)(lambda + i t) =lambda^2 + ilambda tlambda^2 + t^2

Passo 3

Para Y dupla exponencial,
varphiY(t) =integral-infty^inftye^i t y,lambda2e^-lambda|y|,dy =lambda2l(integral0^inftye^i t ye^-lambda y,dy +integral-infty^0e^i t ye^-lambda(-y),dyr)
No primeiro pedaço usamos do item (a) com lambdamapstolambda e tmapsto -t? Na verdade
integral0^inftye^i t ye^-lambda y,dy=1lambda - i t, integral-infty^0e^i t ye^-lambda(-y),dy =integral0^inftye^-i t ue^-lambda u,du =1lambda + i t
Portanto
varphiY(t) =lambda2l(1lambda - i t+1lambda + i tr) =lambda2(lambda + i t)+(lambda - i t)lambda^2 + t^2 =lambda^2lambda^2 + t^2

Passo 4

Se Z e W são independentes e exp(lambda), então
varphiZ-W(t) =varphiZ(t),varphiW(-t) =lambdalambda - i t,lambdalambda + i t =lambda^2lambda^2 + t^2
Mas a função característica lambda^2lambda^2+t^2 é exatamente a de uma exponencial dupla com densidade tfraclambda2e^-lambda|u|. Pela unicidade da função característica, Z-W tem essa densidade, i.e.\ é exponencial dupla.

Resposta

(a) varphiX(t)=lambdalambda - i t=lambda^2 + ilambda tlambda^2 + t^2
(b) varphiY(t)=lambda^2lambda^2 + t^2
(c) Z-W tem densidade f(u)=tfraclambda2e^-lambda|u|, ou seja, é exponencial dupla.

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