(a) Suponha que
e mostre que a função caracteristica de
é
.
(b) Seja
exponencial dupla com densidade
Calcule a função caracteristica de
. (Sugestão. Use simétria e o item (a)).
(c) Demonstre: se
e
sào independentes e identicamente distribuidas, com
, então
é exponencial dupla.
(b) Seja
(c) Demonstre: se
Passo 1
O enunciado trata de funções características de variáveis aleatórias. No item (a) precisamos usar a definição
para
. No item (b) temos
com densidade
e vamos usar simetria de
e o resultado de (a) para obter
. No item (c) mostramos que, se
e
são iid
, então
tem densidade de “exponencial dupla”, o que pode ser feito usando produto de funções características.
Passo 2
Queremos
Como
, a integral converge e vale
Logo
Para separar parte real e imaginária, multiplica-se numerador e denominador por
:
Passo 3
Para
dupla exponencial,
No primeiro pedaço usamos do item (a) com
e
? Na verdade
Portanto
Passo 4
Se
e
são independentes e
, então
Mas a função característica
é exatamente a de uma exponencial dupla com densidade
. Pela unicidade da função característica,
tem essa densidade, i.e.\ é exponencial dupla.
Resposta
(a)
(b)
(c) tem densidade
, ou seja, é exponencial dupla.
(b)
(c)