Para X \sim Poisson(2), defina Y=\max (\min (X, 4), \max (X, 2)).
a. Obtenha p(y) e F_{Y}.
b. Calcule P(Y>1) e P(Y>1 \mid Y \leq 3).

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável aleatória com distribuição \mathrm{Poisson}(2) e define
Y = \max\bigl(\min(X,4),\,2\bigr),
ou seja, Y “trunca” X abaixo em 2 e acima em 4. Vamos encontrar (a) a função massa de probabilidade p_Y(y)=P(Y=y) e a função de distribuição F_Y(y)=P(Y\le y), e depois (b) calcular P(Y>1) e P(Y>1\mid Y\le3).

Passo 2

Determine o suporte de Y e as regiões de X:
  • Se X<2, então \min(X,4)=X<2 e \max(\min(X,4),2)=2.
  • Se 2\le X\le4, então \min(X,4)=X e \max(X,2)=X, logo Y=X.
  • Se X>4, então \min(X,4)=4 e \max(4,2)=4, logo Y=4.
    Portanto o suporte de Y é \{2,3,4\}.

Passo 3

Calcule p_Y(y)=P(Y=y) a partir de eventos em X:
\begin{aligned} P(Y=2)&=P(X<2)+P(X=2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2),\\\ P(Y=3)&=P(X=3),\\\ P(Y=4)&=P(X>4)+P(X=4)=P(X\ge4). \end{aligned}
Como X\sim\mathrm{Poisson}(2),
P(X=k)=\frac{2^k e^{-2}}{k!}.
Logo
\begin{aligned} P(Y=2)&=e^{-2}\Bigl(\frac{2^0}{0!}+\frac{2^1}{1!}+\frac{2^2}{2!}\Bigr) =e^{-2}\bigl(1+2+2\bigr)=5e^{-2},\\\ P(Y=3)&=e^{-2}\,\frac{2^3}{3!} =\frac{8}{6}\,e^{-2}=\frac{4}{3}e^{-2},\\\ P(Y=4)&=1-P(X\le3) =1-e^{-2}\Bigl(1+2+2+\tfrac{8}{6}\Bigr) =1-\frac{19}{3}e^{-2}. \end{aligned}

Passo 4

A função de distribuição F_Y(y)=P(Y\le y) em cada intervalo de y é
F_Y(y)= \begin{cases} 0,&y<2,\\[6pt] P(Y=2)=5e^{-2},&2\le y<3,\\[6pt] P(Y=2)+P(Y=3)=\displaystyle \frac{19}{3}e^{-2},&3\le y<4,\\[6pt] 1,&y\ge4. \end{cases}
]

Passo 5

Calcule P(Y>1). Como o menor valor de Y é 2, temos
P(Y>1)=1.

Passo 6

Calcule P(Y>1\mid Y\le 3). No evento \{Y\le3\} só aparecem Y=2 ou Y=3, ambos maiores que 1, logo
P(Y>1\mid Y\le3) =\frac{P(\{Y>1\}\cap\{Y\le3\})}{P(Y\le3)} =\frac{P(Y\le3)}{P(Y\le3)}=1.

Resposta

a.
\displaystyle p_Y(2)=5e^{-2},\quad p_Y(3)=\tfrac{4}{3}e^{-2},\quad p_Y(4)=1-\tfrac{19}{3}e^{-2}.\) \[F_Y(y)= \begin{cases} 0,&y<2,\\\\ 5e^{-2},&2\le y<3,\\\ \tfrac{19}{3}e^{-2},&3\le y<4,\\\\ 1,&y\ge4. \end{cases}
b.
(\displaystyle P(Y>1)=1,\qquad P(Y>1\mid Y\le3)=1.]

Exercícios de Livros Relacionados