Supondo que 10 % dos alunos de uma universidade são superdotados, qual a probabilidade de numa classe com 20 alunos dois, no máximo, sejam superdotados?

Passo 1

O enunciado diz que numa universidade cada aluno tem de chance de ser superdotado. Numa turma com alunos, queremos a probabilidade de que, no máximo, sejam superdotados. O conteúdo aqui é a distribuição binomial, pois temos experimentos independentes (cada aluno) com mesma probabilidade de “sucesso” (ser superdotado).

Passo 2

Definimos a variável aleatória X sim Binl(n=20,;p=0,1r), como o número de alunos superdotados na turma. Então
P(X=k)=binom20k,(0,1)^k,(0,9)^20-k
onde é o tamanho da turma e é a probabilidade de cada aluno ser superdotado. A fórmula geral é

Passo 3

Queremos
P(X<=2)=sumk=0^2P(X=k) =sumk=0^2binom20k(0,1)^k(0,9)^20-k

Passo 4

Calculamos cada termo separadamente:
P(X=0)=binom200(0,1)^0(0,9)^20=(0,9)^20,
P(X=1)=binom201(0,1)^1(0,9)^19 =20cdot0,1cdot(0,9)^19,
P(X=2)=binom202(0,1)^2(0,9)^18 =190cdot0,01cdot(0,9)^18

Passo 5

Vamos aproximar numericamente:
(0,9)^20approx0,1216, 20cdot0,1cdot(0,9)^19approx0,2702, 190cdot0,01cdot(0,9)^18approx0,2852
Somando-os, temos
P(X<=2)approx0,1216+0,2702+0,2852=0,6770

Resposta

A probabilidade de, no máximo, dois alunos serem superdotados é aproximadamente .