Suponha que Y possua densidade fY(y) e que a distribuição condicional de X, dado que Y=y, possua densidade f(x mid y), para todo y (ou pelo menos para “quase todo” valor possível de Y ). Demonstre que
f(x, y)=fY(y) f(x mid y)
é a densidade conjunta de X e Y. (Observação: foi provado no caso III que f(x mid y)=f(x, y)fY(y) se existe uma densidade conjunta, de modo que a distribuição conjunta determina fY(y) e f(x mid y). Este exercício diz que fY(y) e f(x mid y) determinam f(x, y).)

Passo 1

O enunciado diz que temos uma variável aleatória Y com densidade marginal fY(y) e, para cada valor y (ou quase todo y), a distribuição condicional de X dado Y=y tem densidade f(xmid y). A tarefa é mostrar que a função
f(x,y)=fY(y),f(xmid y)
é de fato a densidade conjunta de (X,Y). Vamos usar as propriedades de densidade (não-negatividade, integral igual a 1) e o teorema de Fubini.

Passo 2

Primeiro, note que para todo (x,y) temos
f(x,y)=fY(y),f(xmid y)>=0
pois densidades são sempre não-negativas.
Em seguida, para ver que integra 1 sobre R^2, aplicamos Fubini e usamos que, para cada y,
integral-infty^inftyf(xmid y),dx=1. Assim,
integral duplaR^2f(x,y),dx,dy =integral-infty^inftyl(integral-infty^inftyf(xmid y),dxr),fY(y),dy =integral-infty^infty1cdot fY(y),dy =1

Passo 3

Para obter a marginal de Y a partir de f(x,y), integramos em x:
integral-infty^inftyf(x,y),dx =fY(y),integral-infty^inftyf(xmid y),dx =fY(y)times1 =fY(y)
Logo, a marginal de Y gerada por f(x,y) é exatamente fY(y).

Passo 4

Por fim, para cada y com fY(y)>0, a densidade condicional de X dado Y=y a partir de f(x,y) é
f(x,y)fY(y) =fY(y),f(xmid y)fY(y) =f(xmid y),
ou seja, recuperamos a densidade condicional original.

Resposta

Portanto, f(x,y)=fY(y),f(xmid y) satisfaz todas as propriedades de densidade conjunta e gera as marginais e condicionais corretas, logo é a densidade conjunta de (X,Y).

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