Suponha que
possua densidade
e que a distribuição condicional de
, dado que
, possua densidade
, para todo
(ou pelo menos para “quase todo” valor possível de
). Demonstre que
é a densidade conjunta de
e
. (Observação: foi provado no caso III que
se existe uma densidade conjunta, de modo que a distribuição conjunta determina
e
. Este exercício diz que
e
determinam
.)
Passo 1
O enunciado diz que temos uma variável aleatória
com densidade marginal
e, para cada valor
(ou quase todo
), a distribuição condicional de
dado
tem densidade
. A tarefa é mostrar que a função
é de fato a densidade conjunta de
. Vamos usar as propriedades de densidade (não-negatividade, integral igual a
) e o teorema de Fubini.
Passo 2
Primeiro, note que para todo
temos
pois densidades são sempre não-negativas.
Em seguida, para ver que integra sobre
, aplicamos Fubini e usamos que, para cada
,
. Assim,
Em seguida, para ver que integra
Passo 3
Para obter a marginal de
a partir de
, integramos em
:
Logo, a marginal de
gerada por
é exatamente
.
Passo 4
Por fim, para cada
com
, a densidade condicional de
dado
a partir de
é
ou seja, recuperamos a densidade condicional original.
Resposta
Portanto,
satisfaz todas as propriedades de densidade conjunta e gera as marginais e condicionais corretas, logo é a densidade conjunta de
.