Suponha que as variáveis aleatórias
e
tenham a distribuição de probabilidades conjuntas
sobre o cilindro
e
. Determine a constante
, de modo que
,
seja uma função densidade de probabilidade. Determine o seguinte:
a.
b.
c.
d.
e.
f. Distribuição de probabilidade condicional de
, dado que
e
.
a.
b.
c.
d.
e.
f. Distribuição de probabilidade condicional de
Passo 1
O enunciado diz que
tem densidade conjunta
para
e
, e zero caso contrário. Precisamos achar
de modo que a densidade some 1, e depois calcular várias probabilidades, uma esperança e distribuições condicionais. Vamos usar conceitos de volume em coordenadas cartesianas e simetria do domínio.
Passo 2
Para achar
impomos
O domínio em
é o disco de raio 2, cuja área é
. Logo
Passo 3
Para
integramos sobre o cilindro de base disco de raio
e altura 4:
Passo 4
Para
integramos em
sobre todo o disco de raio 2:
Passo 5
Como o domínio em
é simétrico em torno da reta
e a densidade não depende de
, vale
Passo 6
Para
primeiro achamos a densidade marginal conjunta
A densidade marginal de
é
Para
temos
em
. Então
Passo 7
Para
note que, dado
, a densidade conjunta de
é uniforme no disco de raio 2 com
Logo
Passo 8
Para a distribuição de
dado
usamos
para
. Ou seja,
.
Resposta
c =
a.
b.
c.
d.
e.
f. para
, zero caso contrário.
a.
b.
c.
d.
e.
f.