Suponha que as variáveis aleatórias X, Y e Z tenham a distribuição de probabilidades conjuntas f_{X Y Z}(x, y, z)=c sobre o cilindro x^{2}+y^{2}<4 e 0<z<4. Determine a constante c, de modo que f_{X Y Z}(x, y, z) seja uma função densidade de probabilidade. Determine o seguinte:
a. P\left(X^{2}+Y^{2}<2\right)
b. P(Z<2)
c. E(X)
d. P(X<1 \mid Y=1)
e. P\left(X^{2}+Y^{2}<1 \mid Z=1\right)
f. Distribuição de probabilidade condicional de Z, dado que X=1 e Y=1.

Passo 1

O enunciado diz que (X,Y,Z) tem densidade conjunta
f_{X Y Z}(x,y,z)=c
para x^2+y^2<4 e 0<z<4, e zero caso contrário. Precisamos achar c de modo que a densidade some 1, e depois calcular várias probabilidades, uma esperança e distribuições condicionais. Vamos usar conceitos de volume em coordenadas cartesianas e simetria do domínio.

Passo 2

Para achar c impomos
\int_{x^2+y^2<4}\!\int_{0}^{4}c\,dz\,dx\,dy \;=\;1.
O domínio em (x,y) é o disco de raio 2, cuja área é \pi\cdot2^2=4\pi. Logo
c\;\times\;(4\pi)\;\times\;4 \;=\;1 \quad\Longrightarrow\quad c=\frac1{16\pi}.

Passo 3

Para P\bigl(X^2+Y^2<2\bigr) integramos sobre o cilindro de base disco de raio \sqrt2 e altura 4:
P(X^2+Y^2<2) =\int_{x^2+y^2<2}\!\int_{0}^{4}c\,dz\,dx\,dy =c\cdot\bigl(\pi(\sqrt2)^2\bigr)\cdot4 =\frac1{16\pi}\cdot(2\pi)\cdot4 =\frac12.

Passo 4

Para P(Z<2) integramos em 0<z<2 sobre todo o disco de raio 2:
P(Z<2) =\int_{x^2+y^2<4}\!\int_{0}^{2}c\,dz\,dx\,dy =c\cdot(4\pi)\cdot2 =\frac1{16\pi}\cdot8\pi =\frac12.

Passo 5

Como o domínio em (x,y) é simétrico em torno da reta x=0 e a densidade não depende de x, vale
E(X)=0.

Passo 6

Para P(X<1\mid Y=1) primeiro achamos a densidade marginal conjunta
f_{X,Y}(x,y)=\int_{0}^{4}c\,dz=4c \quad\text{se }x^2+y^2<4.
A densidade marginal de Y é
f_Y(y) =\int_{-\,\sqrt{4-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}}4c\,dx =4c\cdot2\sqrt{4-y^2} =8c\sqrt{4-y^2}.
Para y=1 temos f_{X\mid Y}(x\mid1)=\dfrac{4c}{8c\sqrt{3}}=\dfrac1{2\sqrt3} em x\in(-\sqrt3,\sqrt3). Então
P(X<1\mid Y=1) =\int_{-\sqrt3}^{1}\frac{1}{2\sqrt3}\,dx =\frac{1+ \sqrt3}{2\sqrt3}.

Passo 7

Para P\bigl(X^2+Y^2<1\mid Z=1\bigr) note que, dado Z=1, a densidade conjunta de (X,Y) é uniforme no disco de raio 2 com
f_{X,Y\mid Z}(x,y\mid1) =\frac{f_{X,Y,Z}(x,y,1)}{f_Z(1)} =\frac{c}{\int_{x^2+y^2<4}c\,dx\,dy} =\frac{1/(16\pi)}{4\pi/(16\pi)} =\frac1{4\pi}.
Logo
P\bigl(X^2+Y^2<1\mid Z=1\bigr) =\int_{x^2+y^2<1}\frac1{4\pi}\,dx\,dy =\frac{\pi\cdot1^2}{4\pi} =\frac14.

Passo 8

Para a distribuição de Z dado X=1,Y=1 usamos
f_{Z\mid X,Y}(z\mid1,1) =\frac{f_{X,Y,Z}(1,1,z)}{f_{X,Y}(1,1)} =\frac{c}{\int_{0}^{4}c\,dz} =\frac{c}{4c} =\frac14,
para 0<z<4. Ou seja, Z\mid(X=1,Y=1)\sim\mathrm{Unif}(0,4).

Resposta

c = \displaystyle \frac1{16\pi}
a. P(X^2+Y^2<2)=\tfrac12
b. P(Z<2)=\tfrac12
c. E(X)=0
d. P(X<1\mid Y=1)=\dfrac{1+\sqrt3}{2\sqrt3}
e. P(X^2+Y^2<1\mid Z=1)=\tfrac14
f. f_{Z\mid X,Y}(z\mid1,1)=\tfrac14 para 0<z<4, zero caso contrário.

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