Suponha que as variáveis aleatórias X, Y e Z tenham a seguinte distribuição de probabilidades conjuntas:
\boldsymbol{x} \boldsymbol{y} \boldsymbol{z} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z})
1 1 1 0,05
1 1 2 0,10
1 2 1 0,15
1 2 2 0,20
2 1 1 0,20
2 1 2 0,15
2 2 1 0,10
2 2 2 0,05
Determine o seguinte:
g. P(X=1, Y=1 \mid Z=2)

Passo 1

Resumimos o enunciado: temos a distribuição conjunta de X,Y,Z em uma tabela e queremos calcular a probabilidade condicional P(X=1,Y=1\mid Z=2). Para isso, usaremos a definição
P(X=x,Y=y\mid Z=z) \;=\;\frac{P(X=x,Y=y,Z=z)}{P(Z=z)}.

Passo 2

Calcular P(Z=2) somando todas as probabilidades conjuntas com Z=2:
P(Z=2)=f(1,1,2)+f(1,2,2)+f(2,1,2)+f(2,2,2) =0,10+0,20+0,15+0,05=0,50.

Passo 3

Aplicar a definição da probabilidade condicional:
P(X=1,Y=1\mid Z=2) =\frac{f(1,1,2)}{P(Z=2)} =\frac{0,10}{0,50}=0,20.

Resposta

P(X=1,Y=1\mid Z=2)=0,20

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