Suponha que as variáveis aleatórias X, Y e Z tenham a seguinte distribuição de probabilidades conjuntas:
\boldsymbol{x} \boldsymbol{y} \boldsymbol{z} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z})
1 1 1 0,05
1 1 2 0,10
1 2 1 0,15
1 2 2 0,20
2 1 1 0,20
2 1 2 0,15
2 2 1 0,10
2 2 2 0,05
Determine o seguinte:
d. P(X=1 ou Z=2)

Passo 1

O enunciado nos dá a distribuição conjunta de (X,Y,Z) e pede a probabilidade do evento \{X=1\text{ ou }Z=2\}. O conteúdo é probabilidade de união de eventos, onde usaremos a fórmula de inclusão–exclusão:
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Aqui A=\{X=1\} e B=\{Z=2\}.

Passo 2

Calculamos P(A)=P(X=1) somando todas as probabilidades com x=1:
P(X=1)=0,05+0,10+0,15+0,20=0,50.

Passo 3

Calculamos P(B)=P(Z=2) somando todas as probabilidades com z=2:
P(Z=2)=0,10+0,20+0,15+0,05=0,50.

Passo 4

Calculamos P(A\cap B)=P(X=1\text{ e }Z=2) somando as probabilidades com x=1 e z=2:
P(X=1,Z=2)=0,10+0,20=0,30.

Passo 5

Aplicamos a fórmula de inclusão–exclusão:
P(X=1\text{ ou }Z=2) = P(X=1)+P(Z=2)-P(X=1,Z=2) = 0,50 + 0,50 - 0,30 = 0,70.

Resposta

0,70

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