Suponha que as variáveis aleatórias X, Y e Z tenham a seguinte distribuição de probabilidades conjuntas:
\boldsymbol{x} \boldsymbol{y} \boldsymbol{z} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z})
1 1 1 0,05
1 1 2 0,10
1 2 1 0,15
1 2 2 0,20
2 1 1 0,20
2 1 2 0,15
2 2 1 0,10
2 2 2 0,05
Determine o seguinte:
e. E(X)

Passo 1

O enunciado fornece a distribuição conjunta de (X,Y,Z) em uma tabela e pede o valor da esperança de X, isto é, E(X). Para isso, primeiro vamos obter a distribuição marginal de X somando a função de probabilidade conjunta sobre y e z. Em seguida, aplicamos a definição de esperança para variáveis discretas:
E(X)=\sum_{x}x\,P(X=x).

Passo 2

Calculamos a marginal de X para cada valor possível de x:
P(X=1)=\sum_{y=1}^{2}\sum_{z=1}^{2}f(1,y,z) =0,05+0,10+0,15+0,20=0,50,
P(X=2)=\sum_{y=1}^{2}\sum_{z=1}^{2}f(2,y,z) =0,20+0,15+0,10+0,05=0,50.

Passo 3

Agora aplicamos a definição de esperança:
E(X)=\sum_{x\in\{1,2\}}x\,P(X=x) =1\cdot0,50+2\cdot0,50=0,50+1,00=1,50.

Resposta

E(X)=1,50

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