Um técnico especializado no conserto de instrumentos musicais de teclado trabalha em casa, como autônomo. Se ele tiver vários serviços a fazer, trabalha em um teclado de cada vez, até que o defeito esteja sanado. Sua rotina é trabalhar todos os dias úteis, oito horas por dia. Admita que o tempo necessário para ele consertar um teclado varia segundo uma distribuição exponencial com média de 1,5 dias =12 horas de trabalho. Se uma loja encomendou a esse técnico o conserto de cinco teclados, calcule a probabilidade de que ele completará todo esse serviço em uma semana, ou seja, cinco dias úteis.

Passo 1

O técnico tem cinco consertos independentes, cada um com tempo de trabalho X_i\sim \mathrm{Exp}(\lambda) e média de 12 horas. Ele só trabalha 8 horas por dia e quer terminar os cinco em 5 dias, isto é, em 40 horas de trabalho. Precisamos calcular
P\bigl(X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 \le 40\bigr).

Passo 2

A soma de k variáveis independentes \mathrm{Exp}(\lambda) tem distribuição Erlang (ou Gamma de forma inteira) com parâmetros k e \lambda. Aqui k=5 e \lambda=1/12 (pois a média de \mathrm{Exp}(\lambda) é 1/\lambda=12). Se chamarmos T=X_1+\cdots+X_5, vale
P(T \le t) =1 - e^{-\lambda t}\sum_{n=0}^{k-1}\frac{(\lambda t)^n}{n!}.

Passo 3

Substituindo k=5, \lambda=1/12 e t=40, temos \lambda t = \tfrac{40}{12}=\tfrac{10}{3}. Assim
P(T\le 40) =1 - e^{-\tfrac{10}{3}}\sum_{n=0}^{4}\frac{\bigl(\tfrac{10}{3}\bigr)^n}{n!}.

Passo 4

Calculando term a term:
\sum_{n=0}^{4}\frac{\bigl(\tfrac{10}{3}\bigr)^n}{n!} =1 + \tfrac{10}{3} + \tfrac{1}{2}\bigl(\tfrac{10}{3}\bigr)^2 + \tfrac{1}{6}\bigl(\tfrac{10}{3}\bigr)^3 + \tfrac{1}{24}\bigl(\tfrac{10}{3}\bigr)^4 \approx 21{,}2057,
e
e^{-\tfrac{10}{3}}\approx 0{,}03567.
Logo
P(T\le 40) =1 - 0{,}03567\times 21{,}2057 \approx 0{,}2436.

Resposta

A probabilidade de ele concluir os cinco consertos em uma semana de trabalho é aproximadamente 0{,}244.

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