Se X tem distribuição de Poisson com parâmetro alpha, mostrar que E(X)=V(X)=alpha.

Passo 1

O enunciado diz que X tem distribuição de Poisson com parâmetro alpha>0, ou seja
P(X=k)=e^-alpha,alpha^kk!, k=0,1,2,dots
Precisamos mostrar que
E(X)=alpha e V(X)=alpha. Para isso vamos usar as definições
E(X)=sumk=0^infty k,P(X=k), Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2,
e também a técnica de deslocar índices em somatórios.

Passo 2

Cálculo de E(X):
E(X) =sumk=0^infty k,e^-alpha,alpha^kk! =sumk=1^infty k,e^-alpha,alpha^kk! =e^-alphasumk=1^inftyalpha^k(k-1)!
Fazendo a mudança de índice j=k-1, obtemos
E(X) =e^-alphasumj=0^inftyalpha^j+1j! =e^-alpha,alphasumj=0^inftyalpha^jj! =alpha,e^-alphae^alpha =alpha

Passo 3

Cálculo de E[X(X-1)]:
E[X(X-1)] =sumk=0^infty k(k-1),e^-alphaalpha^kk! =sumk=2^infty k(k-1),e^-alphaalpha^kk! =e^-alphasumk=2^inftyalpha^k(k-2)!
Com j=k-2 vem
E[X(X-1)] =e^-alphasumj=0^inftyalpha^j+2j! =e^-alpha,alpha^2sumj=0^inftyalpha^jj! =alpha^2,e^-alphae^alpha =alpha^2

Passo 4

Agora E(X^2)=E[X(X-1)]+E(X)=alpha^2+alpha. Logo
Var(X) =E(X^2)-[E(X)]^2 =(alpha^2+alpha)-alpha^2 =alpha

Resposta

E(X)=alpha e V(X)=alpha.

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