Em certa cidade, sabe-se que
da população tem problemas de psicose. Para um grupo de 20 pessoas dessa cidade, pede-se:
a) Calcular a probabilidade de se encontrar pelo menos uma com psicose;
b) Calcular a probabilidade de se encontrar no máximo duas pessoas com psicose;
c) Determinar o valor esperado e o desvio padrão do número de pessoas com psicose.
a) Calcular a probabilidade de se encontrar pelo menos uma com psicose;
b) Calcular a probabilidade de se encontrar no máximo duas pessoas com psicose;
c) Determinar o valor esperado e o desvio padrão do número de pessoas com psicose.
Passo 1
O enunciado considera um grupo de
pessoas em que cada uma, de forma independente, tem probabilidade
de ter psicose. Podemos modelar o número de pessoas com psicose por uma variável aleatória
com distribuição binomial de parâmetros
e
, isto é,
Vamos usar as fórmulas da distribuição binomial para calcular probabilidades e, em seguida, obter a esperança e o desvio padrão.
Passo 2
Queremos a probabilidade de encontrar pelo menos uma pessoa com psicose, ou seja,
Como é mais fácil calcular
e usar o complementar, temos
Numericamente,
, logo
Passo 3
Queremos a probabilidade de encontrar no máximo duas pessoas com psicose, ou seja,
Calculando termo a termo:
Somando, obtemos
Passo 4
Para uma binomial
, a esperança e a variância são
Aqui,
e o desvio padrão é
Resposta
a)
.
b) .
c) e
.
b)
c)