Em certa cidade, sabe-se que 1 % da população tem problemas de psicose. Para um grupo de 20 pessoas dessa cidade, pede-se:
a) Calcular a probabilidade de se encontrar pelo menos uma com psicose;
b) Calcular a probabilidade de se encontrar no máximo duas pessoas com psicose;
c) Determinar o valor esperado e o desvio padrão do número de pessoas com psicose.

Passo 1

O enunciado considera um grupo de n=20 pessoas em que cada uma, de forma independente, tem probabilidade p=0,01 de ter psicose. Podemos modelar o número de pessoas com psicose por uma variável aleatória X com distribuição binomial de parâmetros n e p, isto é,
X sim Bin(n=20,;p=0,01)
Vamos usar as fórmulas da distribuição binomial para calcular probabilidades e, em seguida, obter a esperança e o desvio padrão.

Passo 2

Queremos a probabilidade de encontrar pelo menos uma pessoa com psicose, ou seja,
P(X>=1);
Como é mais fácil calcular P(X=0) e usar o complementar, temos
P(X>=1) = 1 - P(X=0) = 1 - (1-p)^n = 1 - (0,99)^20
Numericamente, (0,99)^20approx0,8179, logo
P(X>=1)approx1 - 0,8179 = 0,1821

Passo 3

Queremos a probabilidade de encontrar no máximo duas pessoas com psicose, ou seja,
P(X<=2) = sumk=0^2 P(X=k) = sumk=0^2 binom20k,(0,01)^k,(0,99)^20-k
Calculando termo a termo:
P(X=0)=(0,99)^20approx0,8179, P(X=1)=20cdot0,01cdot(0,99)^19approx0,1652,
P(X=2)=binom202,(0,01)^2,(0,99)^18approx0,0159
Somando, obtemos
P(X<=2)approx0,8179 + 0,1652 + 0,0159 = 0,9990

Passo 4

Para uma binomial Bin(n,p), a esperança e a variância são
E(X)=n,p, Var(X)=n,p,(1-p)
Aqui,
E(X)=20cdot0,01=0,2,
Var(X)=20cdot0,01cdot0,99=0,198,
e o desvio padrão é
sigmaX=raizVar(X)=raiz0,198approx0,445

Resposta

a) P(X>=1)=1-(0,99)^20approx0,1821.
b) P(X<=2)=sumk=0^2binom20k(0,01)^k(0,99)^20-kapprox0,9990.
c) E(X)=0,2 e sigmaXapprox0,445.

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