Três caixas I, I I e I I I contêm, respectivamente, a_{1}, a_{2} e a_{3} bolas azuis e b_{1}, b_{2} e b_{3} bolas brancas. Uma bola é escolhida de I e passada para I I e, em seguida, uma bola de I I é passada para I I I. Considerando que todas as
escolhas foram feitas ao acaso, qual é a probabilidade de uma bola retirada da caixa III, ao fim dessas trocas, ser da cor azul?

Passo 1

O enunciado descreve três caixas I, II e III com, respectivamente, a_1,b_1, a_2,b_2 e a_3,b_3 bolas azuis e brancas. Primeiro transferimos uma bola de I para II e depois uma de II para III. Por fim, retiramos uma bola de III. Para achar a probabilidade de essa bola ser azul, vamos usar probabilidade condicional e a lei da probabilidade total em cada etapa de transferência.

Passo 2

Calculemos a probabilidade p_1 de a bola transferida de I para II ser azul. Como em I há a_1 azuis e b_1 brancas,
p_1 = \frac{a_1}{a_1 + b_1},
e a probabilidade de vir branca é 1 - p_1 = \frac{b_1}{a_1 + b_1}.

Passo 3

Depois da primeira transferência, a caixa II terá a_2+1 azuis e b_2 brancas se a bola vier azul, ou a_2 azuis e b_2+1 brancas se vier branca. Então a probabilidade p_2 de a bola que sai de II (e vai para III) ser azul é
p_2 = p_1 \cdot \frac{a_2 + 1}{\,a_2 + b_2 + 1\,} + (1 - p_1)\cdot \frac{a_2}{\,a_2 + b_2 + 1\,}.

Passo 4

Finalmente, após essa segunda transferência, a caixa III terá a_3 + 1 azuis e b_3 brancas se a bola vinda de II for azul, ou a_3 azuis e b_3 + 1 brancas se for branca. Pela lei da probabilidade total, a probabilidade final P de retirar uma azul de III é
P = p_2\cdot \frac{a_3 + 1}{\,a_3 + b_3 + 1\,} + (1 - p_2)\cdot \frac{a_3}{\,a_3 + b_3 + 1\,}.

Passo 5

Observando que
p_2 = \frac{a_1}{a_1+b_1}\,\frac{a_2+1}{a_2+b_2+1} + \frac{b_1}{a_1+b_1}\,\frac{a_2}{a_2+b_2+1},
e que
P = \frac{a_3}{a_3+b_3+1} + \frac{p_2}{a_3+b_3+1},
substituímos p_2 em P para obter a expressão final.

Resposta

\boxed{ P = \frac{a_3}{a_3 + b_3 + 1} + \frac{1}{\,a_3 + b_3 + 1\,} \Biggl( \frac{a_1}{a_1 + b_1}\,\frac{a_2 + 1}{a_2 + b_2 + 1} + \frac{b_1}{a_1 + b_1}\,\frac{a_2}{a_2 + b_2 + 1} \Biggr) }.

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