Três caixas
e
contêm, respectivamente,
e
bolas azuis e
e
bolas brancas. Uma bola é escolhida de
e passada para
e, em seguida, uma bola de
é passada para
. Considerando que todas as
escolhas foram feitas ao acaso, qual é a probabilidade de uma bola retirada da caixa III, ao fim dessas trocas, ser da cor azul?
escolhas foram feitas ao acaso, qual é a probabilidade de uma bola retirada da caixa III, ao fim dessas trocas, ser da cor azul?
Passo 1
O enunciado descreve três caixas I, II e III com, respectivamente,
,
e
bolas azuis e brancas. Primeiro transferimos uma bola de I para II e depois uma de II para III. Por fim, retiramos uma bola de III. Para achar a probabilidade de essa bola ser azul, vamos usar probabilidade condicional e a lei da probabilidade total em cada etapa de transferência.
Passo 2
Calculemos a probabilidade
de a bola transferida de I para II ser azul. Como em I há
azuis e
brancas,
e a probabilidade de vir branca é
.
Passo 3
Depois da primeira transferência, a caixa II terá
azuis e
brancas se a bola vier azul, ou
azuis e
brancas se vier branca. Então a probabilidade
de a bola que sai de II (e vai para III) ser azul é
Passo 4
Finalmente, após essa segunda transferência, a caixa III terá
azuis e
brancas se a bola vinda de II for azul, ou
azuis e
brancas se for branca. Pela lei da probabilidade total, a probabilidade final
de retirar uma azul de III é
Passo 5
Observando que
e que
substituímos
em
para obter a expressão final.