Considere a região
. Para um ponto escolhido ao acaso em
, calcule a probabilidade de:
a. Estar a uma distância menor que
da fronteira de
.
b. Pertencer à região
.
a. Estar a uma distância menor que
b. Pertencer à região
Passo 1
O enunciado define a região
e pede duas probabilidades, supondo o ponto escolhido uniformemente em
:
- (a) a probabilidade de a distância ao contorno de
ser menor que . - (b) a probabilidade de
satisfazer .
Conteúdos que vamos usar: área de
, geometria de margens (distância a retas), e cálculo de área de interseção por integração.
Passo 2
Primeiro determinamos a área de
. Para cada
, a condição
e
dá
logo a largura em
vale
. Portanto
Passo 3
(a) A distância de um ponto de
até as fronteiras horizontais
ou
é no máximo metade da altura total de
, que é
. Logo o maior possível da menor distância até uma dessas retas é
. Isso significa que TODO ponto de
está a distância
de uma das fronteiras horizontais. Como queremos distância menor que
, as únicas exceções seriam pontos cuja distância mínima seja exatamente
, mas eles formam linhas de medida zero. Assim a região onde a distância é estritamente inferior a
tem área igual à área total de
.
Portanto
Portanto
Passo 4
(b) Para calcular
fazemos fatias horizontais. Em cada
Como
a
, integramos:
Calculando:
Logo a área favorável é
e a probabilidade
Resposta
a)
b)
b)