Considere a região A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 1 \leq y \leq 2, y \leq x+1, y \geq x-1\right\}. Para um ponto escolhido ao acaso em A, calcule a probabilidade de:
a. Estar a uma distância menor que 1 / 2 da fronteira de A.
b. Pertencer à região \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x+y>2\right\}.

Passo 1

O enunciado define a região
A=\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:1\le y\le2,\;y\le x+1,\;y\ge x-1\bigr\}
e pede duas probabilidades, supondo o ponto escolhido uniformemente em A:
  • (a) a probabilidade de a distância ao contorno de A ser menor que 1/2.
  • (b) a probabilidade de (x,y) satisfazer x+y>2.
Conteúdos que vamos usar: área de A, geometria de margens (distância a retas), e cálculo de área de interseção por integração.

Passo 2

Primeiro determinamos a área de A. Para cada y\in[1,2], a condição y\le x+1 e y\ge x-1
y-1 \;\le\; x\;\le\;y+1,
logo a largura em x vale (y+1)-(y-1)=2. Portanto
\text{Área}(A) =\int_{y=1}^{2}2\,dy =2\cdot(2-1) =2.Á

Passo 3

(a) A distância de um ponto de A até as fronteiras horizontais y=1 ou y=2 é no máximo metade da altura total de A, que é 2-1=1. Logo o maior possível da menor distância até uma dessas retas é 1/2. Isso significa que TODO ponto de A está a distância \le 1/2 de uma das fronteiras horizontais. Como queremos distância menor que 1/2, as únicas exceções seriam pontos cuja distância mínima seja exatamente 1/2, mas eles formam linhas de medida zero. Assim a região onde a distância é estritamente inferior a 1/2 tem área igual à área total de A.
Portanto
P(\text{distância} < 1/2) = \frac{\text{área da camada de espessura } < 1/2}{\text{área}(A)} = \frac{2}{2} = 1.âáá

Passo 4

(b) Para calcular
P(x+y>2) =\frac{\text{área}\bigl(A\cap\{x+y>2\}\bigr)}{\text{área}(A)},áá
fazemos fatias horizontais. Em cada y\in[1,2]\), temos \(x\in[y-1,y+1]\) e a condição extra \(x+y>2\) equivale a \(x>2-y\). Logo, para um dado \(y\), o comprimento favorável em \(x\) é \[L(y)= \begin{cases} (y+1)-(2-y)=2y-1, &\text{se }2-y>y-1\iff y<1,5,\\\ (y+1)-(y-1)=2, &\text{se }y\ge1,5. \end{cases}
Como y\] vai de \(1 a 2, integramos:
\text{área}(A\cap\{x+y>2\}) =\int_{y=1}^{1{,}5}(2y-1)\,dy +\int_{y=1{,}5}^{2}2\,dy.á
Calculando:
\int_{1}^{1{,}5}(2y-1)\,dy =\Bigl[y^2-y\Bigr]_{1}^{1{,}5} =(2{,}25-1{,}5)-0 =0{,}75,
\int_{1{,}5}^{2}2\,dy =2\,(2-1{,}5)=1.
Logo a área favorável é 0{,}75+1=1{,}75 e a probabilidade
P(x+y>2) =\frac{1{,}75}{2} =0{,}875 =\tfrac{7}{8}.

Resposta

a) 1
b) \tfrac{7}{8}

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