As variáveis aleatórias
são não negativas e
é convergente em
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que
são variáveis aleatórias não negativas e que
converge para todo
. Chamamos
e queremos mostrar
O conteúdo que usaremos é o Teorema da Convergência Monótona (MCT) da integração de Lebesgue, além da linearidade da esperança para somas finitas.
Passo 2
Definimos as somas parciais
Então cada
é uma v.a. não negativa e mensurável, e satisfaz
Passo 3
Pelo Teorema da Convergência Monótona, para qualquer sequência crescente de v.a. não negativas
vale
Passo 4
Mas cada
é soma finita de v.a., e a esperança é linear em somas finitas. Logo
Passo 5
Juntando MCT e a linearidade em somas finitas, obtemos