As variáveis aleatórias X_{1}, X_{2}, \cdots são não negativas e \sum_{n=1}^{\infty} X_{n} é convergente em \Omega. Mostre que E\left(\sum_{n=1}^{\infty} X_{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} E\left(X_{n}\right).

Passo 1

O enunciado diz que \{X_n\}_{n=1}^\infty são variáveis aleatórias não negativas e que
\sum_{n=1}^{\infty}X_n(\omega)
converge para todo \omega\in\Omega. Chamamos
S(\omega)=\sum_{n=1}^{\infty}X_n(\omega)
e queremos mostrar
E\biggl(\sum_{n=1}^{\infty}X_n\biggr) =\sum_{n=1}^{\infty}E\bigl(X_n\bigr).
O conteúdo que usaremos é o Teorema da Convergência Monótona (MCT) da integração de Lebesgue, além da linearidade da esperança para somas finitas.

Passo 2

Definimos as somas parciais
S_N(\omega)=\sum_{n=1}^{N}X_n(\omega).
Então cada S_N é uma v.a. não negativa e mensurável, e satisfaz
S_1(\omega)\le S_2(\omega)\le\cdots\le S_N(\omega)\le\cdots \quad\text{e}\quad \lim_{N\to\infty}S_N(\omega)=S(\omega).

Passo 3

Pelo Teorema da Convergência Monótona, para qualquer sequência crescente de v.a. não negativas S_N\uparrow S vale
E\bigl(S\bigr) =\lim_{N\to\infty}E\bigl(S_N\bigr).

Passo 4

Mas cada S_N é soma finita de v.a., e a esperança é linear em somas finitas. Logo
E\bigl(S_N\bigr) =E\Bigl(\sum_{n=1}^{N}X_n\Bigr) =\sum_{n=1}^{N}E\bigl(X_n\bigr).

Passo 5

Juntando MCT e a linearidade em somas finitas, obtemos
E\bigl(S\bigr) =\lim_{N\to\infty}E\bigl(S_N\bigr) =\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}E\bigl(X_n\bigr) =\sum_{n=1}^{\infty}E\bigl(X_n\bigr).

Resposta

E\Bigl(\sum_{n=1}^{\infty}X_n\Bigr) =\sum_{n=1}^{\infty}E\bigl(X_n\bigr).

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