As variáveis X e Y são independentes e identicamentes distribuídas de acordo com o modelo U_{c}(0,1). Determine a covariância entre \min (X, Y) e \max (X, Y).

Passo 1

O enunciado pede a covariância entre U=\min(X,Y) e V=\max(X,Y), onde X e Y são independentes e identicamente distribuídas como \mathrm{Uniform}(0,1).
Conteúdo necessário: estatísticas de ordem para amostra de tamanho 2, densidade conjunta de (U,V) e cálculo de expectativas por integração.

Passo 2

Lembrando a definição de covariância, temos
\mathrm{Cov}(U,V)=\mathbb{E}[UV]-\mathbb{E}[U]\,\mathbb{E}[V].

Passo 3

Para duas variáveis iid \mathrm{Uniform}(0,1), a densidade conjunta de (U,V) nos pontos ordenados 0<u<v<1 é
f_{U,V}(u,v)=2,\quad 0<u<v<1,
pois há 2 maneiras de ordenar (X,Y).

Passo 4

Calculando \mathbb{E}[U]:
\mathbb{E}[U] =\int_{0}^{1}\int_{u}^{1}u\cdot 2\,dv\,du =2\int_{0}^{1}u\,(1-u)\,du =2\Bigl[\tfrac{u^{2}}{2}-\tfrac{u^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac{1}{3}.

Passo 5

Calculando \mathbb{E}[V]:
\mathbb{E}[V] =\int_{0}^{1}\int_{0}^{v}v\cdot 2\,du\,dv =2\int_{0}^{1}v\cdot v\,dv =2\int_{0}^{1}v^{2}\,dv =2\cdot\tfrac{1}{3} =\tfrac{2}{3}.

Passo 6

Calculando \mathbb{E}[UV]:
\mathbb{E}[UV] =\int_{0}^{1}\int_{u}^{1}u\,v\cdot 2\,dv\,du =2\int_{0}^{1}u\Bigl[\tfrac{v^{2}}{2}\Bigr]_{v=u}^{1}\,du =2\int_{0}^{1}u\cdot\tfrac{1-u^{2}}{2}\,du =\int_{0}^{1} (u-u^{3})\,du =\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4} =\tfrac{1}{4}.

Passo 7

Substituindo em \mathrm{Cov}(U,V)=\mathbb{E}[UV]-\mathbb{E}[U]\,\mathbb{E}[V]:
\mathrm{Cov}(U,V) =\tfrac{1}{4}-\Bigl(\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{2}{3}\Bigr) =\tfrac{1}{4}-\tfrac{2}{9} =\tfrac{9-8}{36} =\tfrac{1}{36}.

Resposta

\displaystyle \mathrm{Cov}\bigl(\min(X,Y),\max(X,Y)\bigr)=\tfrac{1}{36}.

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