1. Em um jogo, uma moeda equilibrada é lançada até que a primeira cara seja obtida. Um sistema de recompensa é estabelecido pelo organizador do jogo. Para m inteiro e positivo, o jogador ganha m 2^{-k}, sempre que a primeira cara ocorrer no intervalo ( k m,(k+1) m], k=0,1, \ldots. Determine a recompensa média.

Passo 1

O enunciado descreve um jogo em que lançamos uma moeda equilibrada até obter a primeira cara. Chamando de N o número de lançamentos até a primeira cara, sabemos que
P(N=n) = \bigl(1 - \tfrac12\bigr)^{n-1}\,\tfrac12 = 2^{-n}.
O sistema de recompensa é: para inteiro m>0, se a primeira cara ocorrer em \bigl(k\,m,\,(k+1)m\bigr] então o prêmio é
R = m\,2^{-k},\quad k=0,1,2,\dots
Queremos calcular a recompensa média \mathbb{E}[R].

Passo 2

Vamos escrever \mathbb{E}[R] somando sobre k. Note que
\{\,N\in (k\,m,(k+1)m]\,\} \quad\Longrightarrow\quad R = m\,2^{-k}.
Então
\mathbb{E}[R] = \sum_{k=0}^{\infty} \bigl(m\,2^{-k}\bigr)\;P\bigl(k\,m < N \le (k+1)m\bigr).

Passo 3

Calculemos a probabilidade do evento no intervalo:
P\bigl(k\,m < N \le (k+1)m\bigr) = P(N > k\,m) - P(N > (k+1)m).
Como P(N>t) = (1/2)^{t}, temos
P\bigl(k\,m < N \le (k+1)m\bigr) = 2^{-k\,m} - 2^{-(k+1)m}.
Substituindo em \mathbb{E}[R],
\mathbb{E}[R] = m \sum_{k=0}^{\infty} 2^{-k}\bigl(2^{-k\,m} - 2^{-(k+1)m}\bigr).

Passo 4

Fatorando 2^{-k\,m} no somando:
2^{-k}\bigl(2^{-k\,m} - 2^{-(k+1)m}\bigr) = 2^{-k(m+1)}\bigl(1 - 2^{-m}\bigr).
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\mathbb{E}[R] = m\,(1 - 2^{-m}) \sum_{k=0}^{\infty} 2^{-k(m+1)}.
Como \sum_{k=0}^\infty r^k = 1/(1-r) para r=2^{-(m+1)}, obtemos
\sum_{k=0}^{\infty} 2^{-k(m+1)} = \frac{1}{1 - 2^{-(m+1)}}.

Passo 5

Substituindo esse resultado:
\mathbb{E}[R] = m\,(1 - 2^{-m})\;\frac{1}{1 - 2^{-(m+1)}} = m\,\frac{(1 - 2^{-m})}{(1 - 2^{-(m+1)})}.
Escrevendo em potências de 2,
1 - 2^{-m} = \frac{2^m - 1}{2^m}, \quad 1 - 2^{-(m+1)} = \frac{2^{m+1} - 1}{2^{m+1}},
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\mathbb{E}[R] = m \;\frac{\frac{2^m - 1}{2^m}}{\frac{2^{m+1} - 1}{2^{m+1}}} = m\;\frac{2^m - 1}{2^m}\;\frac{2^{m+1}}{2^{m+1} - 1} = \frac{2\,m\,(2^m - 1)}{2^{m+1} - 1}.

Resposta

\mathbb{E}[R] = \frac{2\,m\,\bigl(2^m - 1\bigr)}{2^{m+1} - 1}.

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