- Em um jogo, uma moeda equilibrada é lançada até que a primeira cara seja obtida. Um sistema de recompensa é estabelecido pelo organizador do jogo. Para
inteiro e positivo, o jogador ganha
, sempre que a primeira cara ocorrer no intervalo (
. Determine a recompensa média.
Passo 1
O enunciado descreve um jogo em que lançamos uma moeda equilibrada até obter a primeira cara. Chamando de
o número de lançamentos até a primeira cara, sabemos que
O sistema de recompensa é: para inteiro
, se a primeira cara ocorrer em
então o prêmio é
Queremos calcular a recompensa média
.
Passo 2
Vamos escrever
somando sobre
. Note que
Então
Passo 3
Calculemos a probabilidade do evento no intervalo:
Como
, temos
Substituindo em
,
Passo 4
Fatorando
no somando:
Logo
Como
para
, obtemos
Passo 5
Substituindo esse resultado:
Escrevendo em potências de 2,
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