Qual a probabilidade de, num grupo de cinco pessoas, pelo menos duas terem nascido no mesmo dia da semana?

Passo 1

O enunciado pergunta a probabilidade de, num grupo de 5 pessoas, existir pelo menos um par que tenha nascido no mesmo dia da semana. Cada pessoa tem 7 dias possíveis, todos igualmente prováveis e independentes. Para resolver, vamos usar o princípio do complementar, ou seja, calcular primeiro a probabilidade de nenhuma duas pessoas compartilharem o mesmo dia e depois fazer 1 menos esse valor.

Passo 2

O número total de resultados possíveis, considerando que cada uma das 5 pessoas pode nascer em qualquer dos 7 dias sem restrição, é
7^5

Passo 3

Para que nenhuma dupla compartilhe dia de nascimento, a primeira pessoa pode escolher qualquer um dos 7 dias, a segunda fica com 6 opções livres, a terceira com 5, a quarta com 4 e a quinta com 3. Assim, o número de resultados sem repetição é
7 times 6 times 5 times 4 times 3
Logo,
P(nenhuma coincidência) =7 times 6 times 5 times 4 times 37^5 =252016807 ê

Passo 4

Pelo princípio do complementar, a probabilidade de pelo menos duas pessoas nascerem no mesmo dia da semana é
P(pelo menos uma coincidência) =1 - P(nenhuma coincidência) =1 - 252016807 =16807 - 252016807 =1428716807 êê

Passo 5

Em valor decimal, isso dá aproximadamente
P(pelo menos uma coincidência)approx0,85 ê

Resposta

A probabilidade pedida é
1428716807approx0,85

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