Os termos de uma série são definidos recursivamente pelas equações
a1=1 an+1=5 n+14 n+3 an
Determine se sum an converge ou diverge.

Passo 1

O enunciado define a sequência an por
a1=1, an+1=5n+14n+3,an,
e pede para decidir se a série sumn=1^inftyan converge ou diverge.
O conteúdo principal aqui é o teste da razão (ou critério de D’Alembert), que nos diz que, se
L = limntoinfty|an+1an|,
então
  • se L<1, a série converge absolutamente;
  • se L>1, a série diverge;
  • se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Vamos calcular a razão dos termos consecutivos:
an+1an = 5n+14n+3

Passo 3

Agora obtemos o limite dessa razão quando ntoinfty:
limntoinfty5n+14n+3 = limntoinfty5 + 1/n4 + 3/n = 54
Como esse valor L=tfrac54 é maior que 1, o teste da razão garante que a série sum an diverge.

Resposta

A série sumn=1^inftyan diverge.

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