Sabe-se que 80 % dos pênaltis marcados a favor do Brasil são cobrados por jogadores do Flamengo. A probabilidade de um pênalti ser convertido é de 40 % se o cobrador for do Flamengo e de 70 % em caso contrário. Um pênalti a favor do Brasil acabou de ser marcado:
a) Qual a probabilidade do pênalti ser cobrado por um jogador do Flamengo e ser convertido?
b) Qual a probabilidade do pênalti ser convertido?
c) Um pênalti foi marcado a favor do Brasil e acabou de ser desperdiçado. Qual a probabilidade de que o cobrador tenha sido um jogador do Flamengo?

Passo 1

O enunciado diz que 80% dos pênaltis marcados a favor do Brasil são batidos por jogadores do Flamengo, ou seja, P(F)=0,8 e P(F^c)=0,2. A probabilidade de converter o pênalti é P(C|F)=0,4 se for Flamengo e P(C|F^c)=0,7 caso contrário. Precisamos achar: a) P(Fcap C); b) P(C); c) P(F|C^c) usando probabilidade condicional, regra da probabilidade total e Teorema de Bayes.

Passo 2

Para o item a) usamos a definição de probabilidade de interseção: P(Acap B)=P(A),P(B|A). Assim,
P(Fcap C)=P(F),P(C|F)=0,8times0,4=0,32

Passo 3

No item b) aplicamos a regra da probabilidade total:
P(C)=P(F)P(C|F)+P(F^c)P(C|F^c)=0,8times0,4+0,2times0,7=0,32+0,14=0,46

Passo 4

Para o item c) usamos o Teorema de Bayes. Primeiro, P(C^c)=1-P(C)=0,54. A seguir,
P(F|C^c)=P(F)P(C^c|F)P(C^c)=0,8times(1-0,4)0,54=0,8times0,60,54=0,480,54=89approx0,8889

Resposta

a) 0,32; b) 0,46; c) 8/9 ≃ 0,8889

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