A probabilidade de um indivíduo de classe A comprar um carro é
, de B é 3/10 e de C é 1/10. A probabilidade do indivíduo de classe A comprar um carro da marca D é
; de B comprar da marca D é
e de C é
. Em certa loja comprou-se um carro da marca D. Qual a probabilidade de que o indivíduo da classe B o tenha comprado?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um cenário onde três grupos de pessoas (A, B e C) compram carros, e cada grupo tem uma probabilidade diferente de escolher a marca D. Queremos descobrir: se um carro da marca D foi comprado, qual a chance de quem comprou ser do grupo B? Vamos usar conceitos de probabilidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as probabilidades que temos:
-
Probabilidade de cada grupo comprar um carro:
- Grupo A: $ \frac{3}{5} $
- Grupo B: $ \frac{3}{10} $
- Grupo C: $ \frac{1}{10} $
-
Probabilidade de cada grupo comprar a marca D:
- Grupo A: $ \frac{3}{4} $
- Grupo B: $ \frac{1}{6} $
- Grupo C: $ \frac{1}{20} $
Passo 3
Agora, queremos encontrar a probabilidade de que o comprador da marca D seja do grupo B. Para isso, vamos usar a Teorema de Bayes, que nos ajuda a encontrar probabilidades condicionais. A fórmula é:
Onde:
- $ P(B|D) $ é a probabilidade de ser do grupo B dado que comprou a marca D.
- $ P(D|B) $ é a probabilidade de comprar a marca D sendo do grupo B.
- $ P(B) $ é a probabilidade de alguém ser do grupo B.
- $ P(D) $ é a probabilidade total de comprar a marca D.
Passo 4
Vamos calcular cada parte da fórmula. Primeiro, o numerador:
Passo 5
Agora, precisamos calcular $ P(D) $, a probabilidade total de comprar a marca D. Isso envolve considerar todos os grupos:
Substituindo os valores:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Passo 6
Agora que temos $ P(D|B) \times P(B) = 0,05 $ e $ P(D) = 0,505 $, podemos usar a fórmula do Teorema de Bayes:
Resposta
A probabilidade é aproximadamente 10%.