A probabilidade de um indivíduo de classe A comprar um carro é 3 / 5, de B é 3/10 e de C é 1/10. A probabilidade do indivíduo de classe A comprar um carro da marca D é 3 / 4; de B comprar da marca D é 1 / 6 e de C é 1 / 20. Em certa loja comprou-se um carro da marca D. Qual a probabilidade de que o indivíduo da classe B o tenha comprado?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um cenário onde três grupos de pessoas (A, B e C) compram carros, e cada grupo tem uma probabilidade diferente de escolher a marca D. Queremos descobrir: se um carro da marca D foi comprado, qual a chance de quem comprou ser do grupo B? Vamos usar conceitos de probabilidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as probabilidades que temos:
  • Probabilidade de cada grupo comprar um carro:
    • Grupo A: $ \frac{3}{5} $
    • Grupo B: $ \frac{3}{10} $
    • Grupo C: $ \frac{1}{10} $
  • Probabilidade de cada grupo comprar a marca D:
    • Grupo A: $ \frac{3}{4} $
    • Grupo B: $ \frac{1}{6} $
    • Grupo C: $ \frac{1}{20} $

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que o comprador da marca D seja do grupo B. Para isso, vamos usar a Teorema de Bayes, que nos ajuda a encontrar probabilidades condicionais. A fórmula é:
P(B|D) = P(D|B) times P(B)P(D)
Onde:
  • $ P(B|D) $ é a probabilidade de ser do grupo B dado que comprou a marca D.
  • $ P(D|B) $ é a probabilidade de comprar a marca D sendo do grupo B.
  • $ P(B) $ é a probabilidade de alguém ser do grupo B.
  • $ P(D) $ é a probabilidade total de comprar a marca D.

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula. Primeiro, o numerador:
P(D|B) times P(B) = 16 times 310 = 360 = 120 = 0,05

Passo 5

Agora, precisamos calcular $ P(D) $, a probabilidade total de comprar a marca D. Isso envolve considerar todos os grupos:
P(D)
Substituindo os valores:
P(D) = P(D|A) times P(A) + P(D|B) times P(B) + P(D|C) times P(C)
Calculando cada termo:
P(D) = 34 times 35 + 16 times 310 + 120 times 110
34 times 35 = 920 = 0,45
16 times 310 = 360 = 120 = 0,05
Somando tudo:
120 times 110 = 1200 = 0,005

Passo 6

Agora que temos $ P(D|B) \times P(B) = 0,05 $ e $ P(D) = 0,505 $, podemos usar a fórmula do Teorema de Bayes:
P(D|B) times P(B) = 0,05

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 10%.

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