A probabilidade P de lucro na compra de um determinado ativo Y pode ser modelada em função de três variáveis, o grau de comprometimento k do mercado com o ativo ( 0 <= k <= 5 ), a estabilidade geral n do mercado (0 <= n <= 1) e a capacidade de crescimento t da economia mundial (-1 <= t <= 1). Suponha que o modelo que melhor estima P seja dado por:
P(k, n, t)=12 cdot(1+sen(t e^(k n-5)2 pi))
Utilize o fato de que a função P é diferenciável para estimar o valor de P(4,999 ; 1,002 ; 0,001).

Passo 1

O enunciado dá a função
P(k,n,t)=12l(1+senl(t,e^(kn-5)2pir)r)
e pede uma estimativa de P(4,999;1,002;0,001) usando que P é diferenciável. Vamos usar aproximação linear (diferenciais) em torno de um ponto simples.

Passo 2

Escolhemos o ponto base (k0,n0,t0)=(5,1,0), pois aí o argumento do seno é zero e P fica simples. Avaliando:
u0=t0,e^(k0n0-5)2pi =0cdot e^02pi=0,
P0=P(5,1,0)=12l(1+sen(u0)r)=12(1+0)=12

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de P. Escrevendo
P=12l(1+sen(u)r), u=t,e^(kn-5)2pi,
temos
partial Ppartial k =12cos(u),partial upartial k, partial Ppartial n =12cos(u),partial upartial n, partial Ppartial t =12cos(u),partial upartial t
Além disso,
partial upartial k =t,e^(kn-5),n2pi, partial upartial n =t,e^(kn-5),k2pi, partial upartial t =e^(kn-5)2pi
Em (5,1,0) temos u0=0, cos(u0)=1 e t0=0, logo
partial Ppartial k(5,1,0)=12cdot1cdot0cdot e^0cdot12pi=0,
partial Ppartial n(5,1,0)=12cdot1cdot0cdot e^0cdot52pi=0,
partial Ppartial t(5,1,0)=12cdot1cdote^02pi=pi4

Passo 4

A aproximação linear é
P(k,n,t)approx P0 +partial Ppartial kDe<a k +partial Ppartial nDe<a n +partial Ppartial tDe<a t
Aqui De<a k=4,999-5=-0,001, De<a n=1,002-1=0,002, De<a t=0,001-0=0,001. Como as derivadas em k,n são zero, só sobra
De<a P =pi4,De<a t =pi4cdot0,001 =pi4000
Portanto
P(4,999;1,002;0,001)approx 12+pi4000

Resposta

P(4,999;1,002;0,001)approx 0,5+pi4000approx0,5007854

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