A probabilidade de uma máquina produzir uma peça defeituosa em um dia é 0,1.
a) Qual a probabilidade de que, em 20 peças produzidas em um dia, exatamente 5 sejam defeituosas?
b) Qual a probabilidade de que a 10^a peça produzida em um dia seja a primeira defeituosa?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esses exercícios juntos! O enunciado fala sobre probabilidade de peças defeituosas produzidas por uma máquina. Para resolver as partes a) e b), vamos precisar entender um pouco sobre probabilidade binomial e probabilidade geométrica.

Passo 2

Parte a): Queremos saber a probabilidade de exatamente 5 peças defeituosas em 20 produzidas. Isso é um caso de probabilidade binomial, porque temos um número fixo de tentativas (20 peças), cada tentativa tem dois resultados possíveis (defeituosa ou não), e a probabilidade de sucesso (peça defeituosa) é constante em cada tentativa.
A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
- $ n $ é o número total de tentativas (20 peças),
- $ k $ é o número de sucessos desejados (5 defeituosas),
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (0,1).

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o coeficiente binomial binom205, que representa o número de maneiras de escolher 5 peças defeituosas dentre 20:
binom205 = 20!5! times (20-5)! = 15504

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula:
P(X = 5) = 15504 times (0,1)^5 times (0,9)^15
Vamos calcular cada parte:
  • $ (0,1)^5 = 0,00001 $
  • $ (0,9)^{15} \approx 0,20589 $
Multiplicando tudo:
(0,1)^5 = 0,00001

Passo 5

Parte b): Queremos saber a probabilidade de que a 10ª peça seja a primeira defeituosa. Isso é um caso de probabilidade geométrica, onde buscamos o primeiro sucesso (peça defeituosa) na n-ésima tentativa.
A fórmula da probabilidade geométrica é:
P(X = k) = p times (1-p)^k-1
Onde:
- $ k $ é a tentativa em que ocorre o primeiro sucesso (10ª peça),
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (0,1).

Passo 6

Aplicando a fórmula:
P(X = 10) = 0,1 times (0,9)^9
Calculando:
  • $ (0,9)^9 \approx 0,38742 $
  • Multiplicando por 0,1:
(0,9)^9 approx 0,38742

Resposta

a) A probabilidade de exatamente 5 peças serem defeituosas em 20 produzidas é aproximadamente 31,9%.
b) A probabilidade de a 10ª peça ser a primeira defeituosa é aproximadamente 3,87%.

Exercícios relacionados