A probabilidade de uma máquina produzir uma peça defeituosa é de 0,1 . Qual a probabilidade de que em 20 peças produzidas pela máquina num dia, ocorram 3 defeituosas? Com base nesse resultado você continuaria produzindo peças com esta máquina levando em consideração uma grande produção de peças por dia? R: 1 9 , 0 1 %

Passo 1

Vamos lá! O enunciado diz que a probabilidade de uma máquina produzir uma peça defeituosa é de 0,1 (ou 10%). Queremos descobrir qual é a probabilidade de, em 20 peças produzidas num dia, exatamente 3 serem defeituosas. Para resolver isso, vamos usar o teorema de probabilidade binomial, que é perfeito para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis resultados (sucesso ou falha), e queremos a probabilidade de um certo número de sucessos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da probabilidade binomial. A probabilidade de exatamente $ k $ sucessos em $ n $ tentativas é dada por:
k
Onde:
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • $ 1 - p $ é a probabilidade de falha em uma única tentativa.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • $ n = 20 $ (número total de peças produzidas)
  • $ k = 3 $ (número de peças defeituosas que queremos)
  • $ p = 0,1 $ (probabilidade de uma peça ser defeituosa)

Passo 4

Agora, vamos calcular o coeficiente binomial $ \binom{20}{3} $. Isso representa o número de maneiras diferentes de escolher 3 peças defeituosas entre 20 produzidas.
binom203

Passo 5

Em seguida, calculamos $ p^k $ e $ (1 - p)^{n - k} $:
p^k
(1 - p)^n - k

Passo 6

Agora, multiplicamos todos esses valores para encontrar a probabilidade:
P(X = 3) = 1140 times 0,001 times 0,166 approx 1140 times 0,000166 approx 0,189, ou 18,9%

Passo 7

Portanto, a probabilidade de que, em 20 peças produzidas, exatamente 3 sejam defeituosas é de aproximadamente 18,9%.

Resposta

A probabilidade de ocorrerem exatamente 3 peças defeituosas em 20 produzidas é de 18,9%. Com base nesse resultado, se considerarmos uma grande produção diária, essa taxa de defeitos pode ser aceitável ou não, dependendo dos padrões de qualidade exigidos. Se a meta for minimizar defeitos, pode ser necessário ajustar ou substituir a máquina.

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