Seja
. Determine:
a)
a)
Passo 1
Então, temos um exercício que envolve uma variável aleatória binomial. Especificamente, $ X $ segue uma distribuição binomial com $ n = 10 $ tentativas e uma probabilidade de sucesso $ p = 0,6 $ em cada tentativa. O que precisamos fazer é encontrar a probabilidade de exatamente 3 sucessos ocorrerem, ou seja, calcular $ P(X = 3) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da distribuição binomial. A probabilidade de obter exatamente $ k $ sucessos em $ n $ tentativas é dada por:
Aqui, $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ sucessos entre $ n $ tentativas.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
- Número de tentativas ($ n $): 10
- Número de sucessos desejados ($ k $): 3
- Probabilidade de sucesso em cada tentativa ($ p $): 0,6
- Probabilidade de falha ($ 1 - p $): 0,4
Passo 4
Agora, vamos calcular o coeficiente binomial $ \binom{10}{3} $. A fórmula para isso é:
Calculando os fatoriais:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular $ p^k $ e $ (1 - p)^{n - k} $:
Passo 6
Agora, juntamos tudo na fórmula:
Primeiro, multiplicamos 120 por 0,216:
Depois, multiplicamos o resultado por 0,0016384:
Resposta
Portanto, a probabilidade de obter exatamente 3 sucessos em 10 tentativas é aproximadamente $ P(X = 3) = 0,0425 $.