Seja X sim Bin(10 ; 0,6). Determine:
a) P(X=3) ; R: 0 , 0 4 2 5

Passo 1

Então, temos um exercício que envolve uma variável aleatória binomial. Especificamente, $ X $ segue uma distribuição binomial com $ n = 10 $ tentativas e uma probabilidade de sucesso $ p = 0,6 $ em cada tentativa. O que precisamos fazer é encontrar a probabilidade de exatamente 3 sucessos ocorrerem, ou seja, calcular $ P(X = 3) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da distribuição binomial. A probabilidade de obter exatamente $ k $ sucessos em $ n $ tentativas é dada por:
k
Aqui, $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ sucessos entre $ n $ tentativas.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • Número de tentativas ($ n $): 10
  • Número de sucessos desejados ($ k $): 3
  • Probabilidade de sucesso em cada tentativa ($ p $): 0,6
  • Probabilidade de falha ($ 1 - p $): 0,4

Passo 4

Agora, vamos calcular o coeficiente binomial $ \binom{10}{3} $. A fórmula para isso é:
binom103
Calculando os fatoriais:
binom103 = 10!3!(10 - 3)! = 10!3!7!
Então,
10! = 3628800, 3! = 6, 7! = 5040

Passo 5

Agora, vamos calcular $ p^k $ e $ (1 - p)^{n - k} $:
p^k
(1 - p)^n - k

Passo 6

Agora, juntamos tudo na fórmula:
P(X = 3) = 120 times 0,216 times 0,0016384
Primeiro, multiplicamos 120 por 0,216:
120 times 0,216 = 25,92
Depois, multiplicamos o resultado por 0,0016384:
25,92 times 0,0016384 approx 0,0425

Resposta

Portanto, a probabilidade de obter exatamente 3 sucessos em 10 tentativas é aproximadamente $ P(X = 3) = 0,0425 $.

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