A probabilidade de que um paciente se recupere de uma doença sanguínea rara é de 0,4 . Se 15 pessoas contraíram essa doença, qual a probabilidade de que:
a) pelo menos 10 sobrevivam;
b) de três a oito pessoas sobrevivam;
c) exatamente cinco sobrevivam;

Passo 1

O enunciado diz que a probabilidade de recuperação de cada paciente é de 0,4, e temos n=15 pacientes independentes. Denotamos por X o número de pacientes que sobrevivem. Como cada paciente tem o mesmo p=0,4 e são independentes, X segue uma distribuição binomial com parâmetros n=15 e p=0,4. Vamos calcular
a) P(X>=10)
b) P(3<= X<=8)
c) P(X=5)

Passo 2

Lembrando que, para XsimBinomial(n,p), vale
P(X=k)=binomnk,p^k,(1-p)^,n-k,
No nosso caso, ,n=15 e p=0,4, logo
P(X=k)=binom15k,(0,4)^k,(0,6)^15-k,

Passo 3

Para a) queremos
P(X>=10)=sumk=10^15binom15k,(0,4)^k,(0,6)^15-k
Calculando cada termo e somando (aproximações):
P(X=10)&approx0,02449, P(X=11)&approx0,00742, P(X=12)&approx0,00165, P(X=13)&approx0,00025, P(X=14)&approx0,00002, P(X=15)&approx0,000001
Somando,
P(X>=10)approx0,03384

Passo 4

Para b) calculamos
P(3<= X<=8)=P(X<=8)-P(X<=2)
Primeiro,
P(X<=8)=1-sumk=9^15P(X=k) =1-l(P(X=9)+P(X>=10)r)
Com P(X=9)approx0,06124 e P(X>=10)approx0,03384, obtemos
P(X<=8)approx1-(0,06124+0,03384)=0,90492
Em seguida,
P(X=0)&=(0,6)^15approx0,00047, P(X=1)&=binom151(0,4)(0,6)^14approx0,00470, P(X=2)&=binom152(0,4)^2(0,6)^13approx0,02194,
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P(X<=2)approx0,00047+0,00470+0,02194=0,02711
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P(3<= X<=8)approx0,90492-0,02711=0,87781

Passo 5

Para c) usamos diretamente
P(X=5)=binom155,(0,4)^5,(0,6)^10
Com binom155=3003, (0,4)^5=0,01024 e (0,6)^10approx0,00605, obtemos
P(X=5)approx3003times0,01024times0,00605approx0,18595

Resposta

a) P(X>=10)approx0,03384
b) P(3<= X<=8)approx0,87781
c) P(X=5)approx0,18595

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