Qual é a probabilidade de uma variável aleatória normal X com média \mu=0 e desvio padrão \sigma =1 ser menor que -2 ?

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável aleatória com distribuição normal de média \mu=0 e desvio padrão \sigma=1, ou seja, X\sim N(0,1). Precisamos calcular a probabilidade
P(X < -2).
O conteúdo principal aqui é usar a função de distribuição acumulada da normal padrão, \Phi(\cdot), e suas propriedades de simetria.

Passo 2

Para qualquer valor a, a probabilidade de uma normal padrão ser menor que a é dada por
P(X < a) = \Phi(a),
onde \Phi(a) é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Portanto,
P(X < -2) = \Phi(-2).

Passo 3

A função \Phi da normal padrão satisfaz a propriedade de simetria
\Phi(-z) = 1 - \Phi(z).
Aplicando com z=2, obtemos
\Phi(-2) = 1 - \Phi(2).

Passo 4

Consultando uma tabela da normal padrão ou usando calculadora, temos
\Phi(2)\approx 0{,}97725.
Logo,
P(X < -2) = 1 - 0{,}97725 = 0{,}02275.

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 0{,}0228 (ou 2{,}28\%).

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