Prove that any subsequence of a convergent sequence converges.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Dado: uma sequência (a_n)_{n=1}^\infty que converge para um limite \,L. Ou seja, sabe-se que (a_n) tem a propriedade de convergência.
  • Pedido: provar que qualquer subsequência (a_{n_k})_{k=1}^\infty de (a_n) também converge.
  • Informação adicional que usarei (tirada do enunciado): a subsequência é formada por índices inteiros positivos estritamente crescentes n_1<n_2<\cdots.

Passo 2

Recordando (didaticamente) a definição de convergência de uma sequência.
  • Definição: dizer que (a_n) converge para \,L significa que, para todo \epsilon>0, existe um inteiro N tal que, para todo n\ge N, vale
|a_n-L|<\epsilon.
  • Explicação dos símbolos: \epsilon é qualquer número pequeno positivo que eu escolher; N é um inteiro que pode depender de \epsilon; a condição n\ge N significa que os termos da sequência a partir de um certo índice ficam todos dentro da bola de raio \epsilon centrada em L.

Passo 3

Definição e propriedade útil de subsequência.
  • Uma subsequência (a_{n_k}) é uma sequência obtida escolhendo índices n_k\in\mathbb{N} com n_1<n_2<\cdots.
  • Observação importante e simples: para todo k vale n_k\ge k. Isso decorre de n_1\ge1, n_2\ge n_1+1\ge2, etc. Essa desigualdade será útil para relacionar os índices da subsequência com os índices grandes da sequência original.

Passo 4

Estratégia do argumento (intuição).
  • Como (a_n) converge para \,L, todos os termos suficientemente à frente (índices grandes) estão próximos de \,L. A subsequência pega alguns desses termos, mas como os índices da subsequência tendem a infinito, a subsequência também acabará só usando termos da cauda da sequência original. Logo a subsequência também fica dentro de qualquer intervalo (L-\epsilon,L+\epsilon) a partir de algum lugar. Vamos tornar isso rigoroso com um argumento \epsilon- N.

Passo 5

Prova formal usando \epsilon- N.
  • Tome um \epsilon>0 arbitrário. Como (a_n) converge para \,L, existe um inteiro N tal que, para todo n\ge N,
|a_n-L|<\epsilon.
  • Agora use a propriedade n_k\ge k. Se escolhermos K=N, então para todo k\ge K temos k\ge N e portanto n_k\ge k\ge N. Assim, para todo k\ge K vale n_k\ge N, e pela escolha de N obtemos
|a_{n_k}-L|<\epsilon.
  • Interpretação: a partir do índice K da subsequência, todos os termos (a_{n_k}) estão a uma distância menor que \epsilon de L.

Passo 6

Concluir a convergência da subsequência.
  • Como a escolha de \epsilon>0 foi arbitrária e encontramos um inteiro K (por exemplo K=N) tal que para todo k\ge K tem-se |a_{n_k}-L|<\epsilon, isso mostra exatamente, pela definição de convergência, que (a_{n_k}) converge para \,L.
  • Em palavras: toda subsequência de uma sequência convergente converge para o mesmo limite da sequência original.

Passo 7

Comentário final e um exemplo rápido (para fixar).
  • Comentário: o ponto-chave é que os índices da subsequência crescem sem limite, então a subsequência “entra” na cauda da sequência original que já está perto do limite.
  • Exemplo simples: se a_n=1/n então a_n\to0. A subsequência a_{2k}=1/(2k) também tende a 0, porque para \epsilon>0 basta escolher K tal que 1/K<\epsilon; para todo k\ge K tem 1/(2k)\le 1/k<\epsilon.

Resposta

Qualquer subsequência (a_{n_k}) de uma sequência (a_n) convergente para \,L converge e tem o mesmo limite \,L.

Exercícios relacionados