Prove that any subsequence of a convergent sequence converges.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
- Dado: uma sequência
que converge para um limite . Ou seja, sabe-se que tem a propriedade de convergência. - Pedido: provar que qualquer subsequência
de também converge. - Informação adicional que usarei (tirada do enunciado): a subsequência é formada por índices inteiros positivos estritamente crescentes
.
Passo 2
Recordando (didaticamente) a definição de convergência de uma sequência.
- Definição: dizer que
converge para significa que, para todo , existe um inteiro tal que, para todo , vale
- Explicação dos símbolos:
é qualquer número pequeno positivo que eu escolher; é um inteiro que pode depender de ; a condição significa que os termos da sequência a partir de um certo índice ficam todos dentro da bola de raio centrada em .
Passo 3
Definição e propriedade útil de subsequência.
- Uma subsequência
é uma sequência obtida escolhendo índices com . - Observação importante e simples: para todo
vale . Isso decorre de , , etc. Essa desigualdade será útil para relacionar os índices da subsequência com os índices grandes da sequência original.
Passo 4
Estratégia do argumento (intuição).
- Como
converge para , todos os termos suficientemente à frente (índices grandes) estão próximos de . A subsequência pega alguns desses termos, mas como os índices da subsequência tendem a infinito, a subsequência também acabará só usando termos da cauda da sequência original. Logo a subsequência também fica dentro de qualquer intervalo a partir de algum lugar. Vamos tornar isso rigoroso com um argumento - .
Passo 5
Prova formal usando
-
.
- Tome um
arbitrário. Como converge para , existe um inteiro tal que, para todo ,
- Agora use a propriedade
. Se escolhermos , então para todo temos e portanto . Assim, para todo vale , e pela escolha de obtemos
- Interpretação: a partir do índice
da subsequência, todos os termos estão a uma distância menor que de .
Passo 6
Concluir a convergência da subsequência.
- Como a escolha de
foi arbitrária e encontramos um inteiro (por exemplo ) tal que para todo tem-se , isso mostra exatamente, pela definição de convergência, que converge para . - Em palavras: toda subsequência de uma sequência convergente converge para o mesmo limite da sequência original.
Passo 7
Comentário final e um exemplo rápido (para fixar).
- Comentário: o ponto-chave é que os índices da subsequência crescem sem limite, então a subsequência “entra” na cauda da sequência original que já está perto do limite.
- Exemplo simples: se
então . A subsequência também tende a , porque para basta escolher tal que ; para todo tem .
Resposta
Qualquer subsequência
de uma sequência
convergente para
converge e tem o mesmo limite
.