Problema 01. (IMO - 1968 - modificada) Sabendo que
é a soma de todos os perímetros dos triângulos que tem lados números inteiros consecutivos e cujo um ângulo seja o dobro de um outro ângulo. O valor de
é igual a:
a) 12
b) 15
c) 21
d) 24
e) 30
a) 12
b) 15
c) 21
d) 24
e) 30
Passo 1
O enunciado pede: determinar
, que é a soma de todos os perímetros dos triângulos que têm lados números inteiros consecutivos e cujo um ângulo seja o dobro de outro ângulo. As alternativas dadas são
.
Informações relevantes que temos:
- Os lados são três inteiros consecutivos; posso representá‑los, em ordem crescente, por
com , (para que sejam positivos). - Existe no triângulo uma relação de ângulos onde um ângulo é o dobro de outro (por exemplo
ou ou , etc.). Vou precisar traduzir essa condição em uma relação entre os lados. - O objetivo final é somar os perímetros de todos os triângulos (com lados consecutivos e a propriedade de ângulo duplo) — provavelmente há poucos (ou só um) — para obter
.
Passo 2
Vamos fixar notação e recordar uma ferramenta essencial: a lei dos senos.
- Notação: chamo de
os comprimentos dos lados do triângulo, opostos aos ângulos , respectivamente. - Lei dos senos: em qualquer triângulo existe um
tal que
Isto significa que as razões
são iguais a
.
Agora, suponha por exemplo que
. Quero extrair uma relação entre
. Usando a escala
(que é um fator comum e pode ser cancelado), escrevo
já que
e
.
Vou mostrar que, a partir daqui, decorre a identidade
Cálculo passo a passo:
Por outro lado,
Usando a identidade trigonométrica de soma de senos,
obtemos
Mas
, então
E
Logo
. Assim, quando
vale a relação
Analogamente, aplicando a mesma ideia ciclicamente, as três possíveis relações (dependendo de qual ângulo é o dobro de qual) são:
Essas são relações algébricas entre os comprimentos dos lados que vou usar.
Passo 3
Agora imponho que os lados são inteiros consecutivos. Para simplificar, ordeno-os como
com
inteiro e
. Vou testar as três relações algébricas acima com essas expressões e ver para quais
elas são satisfeitas (e quais dão triângulos válidos).
Primeira relação (
):
substituindo:
Resolvendo:
Isto dá as arestas
. Mas
não é um triângulo estrito porque
(caso degenerado). Então descartamos
.
Segunda relação (
):
substituindo:
Expandindo e reorganizando:
A equação quadrática
não tem raiz inteira (as raízes são irracionais). Portanto não há solução inteira
aqui.
Terceira relação (
):
substituindo:
Expandindo:
Passando tudo para um lado:
Isto dá
portanto
(impossível para lados positivos) ou
. Tomando
obtemos os lados
, que satisfazem a desigualdade triangular
(triângulo válido).
Passo 4
Resumo dos resultados obtidos:
- A tentativa com
(lados ) é degenerada e é descartada. - A segunda relação dá equação sem raízes inteiras.
- A terceira relação dá
, i.e. os lados , que é um triângulo válido e satisfaz a condição de que um ângulo é o dobro de outro (no caso o ângulo oposto ao lado é o dobro do ângulo oposto ao lado , segundo a relação usada).
Portanto há exatamente um triângulo com lados inteiros consecutivos que satisfaz a condição: o triângulo de lados
.
Calculo do perímetro desse triângulo (etapa intermediária):
Como este é o único triângulo que satisfaz as condições, a soma
de todos os perímetros buscada no enunciado é igual ao perímetro deste único triângulo.
Resposta
15