Problema 01. (IMO - 1968 - modificada) Sabendo que S é a soma de todos os perímetros dos triângulos que tem lados números inteiros consecutivos e cujo um ângulo seja o dobro de um outro ângulo. O valor de S é igual a:
a) 12
b) 15
c) 21
d) 24
e) 30

Passo 1

O enunciado pede: determinar S, que é a soma de todos os perímetros dos triângulos que têm lados números inteiros consecutivos e cujo um ângulo seja o dobro de outro ângulo. As alternativas dadas são 12,15,21,24,30.
Informações relevantes que temos:
  • Os lados são três inteiros consecutivos; posso representá‑los, em ordem crescente, por (s-1),s,(s+1) com s\in\mathbb{Z}, s\ge 2 (para que sejam positivos).
  • Existe no triângulo uma relação de ângulos onde um ângulo é o dobro de outro (por exemplo B=2A ou A=2B ou C=2A, etc.). Vou precisar traduzir essa condição em uma relação entre os lados.
  • O objetivo final é somar os perímetros de todos os triângulos (com lados consecutivos e a propriedade de ângulo duplo) — provavelmente há poucos (ou só um) — para obter S.

Passo 2

Vamos fixar notação e recordar uma ferramenta essencial: a lei dos senos.
  • Notação: chamo de a,b,c os comprimentos dos lados do triângulo, opostos aos ângulos A,B,C, respectivamente.
  • Lei dos senos: em qualquer triângulo existe um R>0 tal que
a=2R\sin A,\qquad b=2R\sin B,\qquad c=2R\sin C.
Isto significa que as razões a:\,b:\,c são iguais a \sin A:\sin B:\sin C.
Agora, suponha por exemplo que B=2A. Quero extrair uma relação entre a,b,c. Usando a escala k=2R (que é um fator comum e pode ser cancelado), escrevo
a=k\sin A,\qquad b=k\sin 2A,\qquad c=k\sin 3A,
já que C=\pi-(A+B)=\pi-3A e \sin C=\sin 3A.
Vou mostrar que, a partir daqui, decorre a identidade
b^{2}=a(a+c).
Cálculo passo a passo:
b^{2}=k^{2}\sin^{2}2A.
Por outro lado,
a(a+c)=k^{2}\sin A\bigl(\sin A+\sin 3A\bigr).
Usando a identidade trigonométrica de soma de senos,
\sin A+\sin 3A=2\sin 2A\cos A,
obtemos
a(a+c)=k^{2}\sin A\cdot 2\sin 2A\cos A.
Mas \sin 2A=2\sin A\cos A, então
a(a+c)=k^{2}\cdot 2\sin A\cdot(2\sin A\cos A)\cos A =4k^{2}\sin^{2}A\cos^{2}A.
E
b^{2}=k^{2}\sin^{2}2A=k^{2}(2\sin A\cos A)^{2}=4k^{2}\sin^{2}A\cos^{2}A.
Logo b^{2}=a(a+c). Assim, quando B=2A vale a relação
\boxed{b^{2}=a(a+c).}
Analogamente, aplicando a mesma ideia ciclicamente, as três possíveis relações (dependendo de qual ângulo é o dobro de qual) são:
\text{se }B=2A:\quad b^{2}=a(a+c),
\text{se }A=2B:\quad a^{2}=b(b+c),
\text{se }C=2A:\quad c^{2}=a(a+b).
Essas são relações algébricas entre os comprimentos dos lados que vou usar.

Passo 3

Agora imponho que os lados são inteiros consecutivos. Para simplificar, ordeno-os como
a=s-1,\qquad b=s,\qquad c=s+1,
com s inteiro e s\ge 2. Vou testar as três relações algébricas acima com essas expressões e ver para quais s elas são satisfeitas (e quais dão triângulos válidos).
Primeira relação ( B=2A):
b^{2}=a(a+c)
substituindo:
s^{2}=(s-1)\bigl((s-1)+(s+1)\bigr)=(s-1)\cdot 2s.
Resolvendo:
s^{2}=2s(s-1)\\ \Rightarrow\\ s=2(s-1)\\ \Rightarrow\\ s=2.
Isto dá as arestas (1,2,3). Mas (1,2,3) não é um triângulo estrito porque 1+2=3 (caso degenerado). Então descartamos s=2.
Segunda relação ( A=2B):
a^{2}=b(b+c)
substituindo:
(s-1)^{2}=s\bigl(s+(s+1)\bigr)=s(2s+1).
Expandindo e reorganizando:
s^{2}-2s+1=2s^{2}+s\\ \Rightarrow\\\ 0=s^{2}+3s-1.
A equação quadrática s^{2}+3s-1=0 não tem raiz inteira (as raízes são irracionais). Portanto não há solução inteira s aqui.
Terceira relação ( C=2A):
c^{2}=a(a+b)
substituindo:
(s+1)^{2}=(s-1)\bigl((s-1)+s\bigr)=(s-1)(2s-1).
Expandindo:
s^{2}+2s+1=(s-1)(2s-1)=2s^{2}-3s+1.
Passando tudo para um lado:
0=2s^{2}-3s+1 - (s^{2}+2s+1)=s^{2}-5s.
Isto dá
s(s-5)=0,
portanto s=0 (impossível para lados positivos) ou s=5. Tomando s=5 obtemos os lados (4,5,6), que satisfazem a desigualdade triangular 4+5>6 (triângulo válido).

Passo 4

Resumo dos resultados obtidos:
  • A tentativa com s=2 (lados 1,2,3) é degenerada e é descartada.
  • A segunda relação dá equação sem raízes inteiras.
  • A terceira relação dá s=5, i.e. os lados (4,5,6), que é um triângulo válido e satisfaz a condição de que um ângulo é o dobro de outro (no caso o ângulo oposto ao lado c=6 é o dobro do ângulo oposto ao lado a=4, segundo a relação usada).
Portanto há exatamente um triângulo com lados inteiros consecutivos que satisfaz a condição: o triângulo de lados 4,5,6.
Calculo do perímetro desse triângulo (etapa intermediária):
P=4+5+6=15.
Como este é o único triângulo que satisfaz as condições, a soma S de todos os perímetros buscada no enunciado é igual ao perímetro deste único triângulo.

Resposta

15

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