(Encontro de Matemática da Duke de 2024 - modificada) Se
e
são as raízes da equação
. O valor de
é igual a:
a) 240
b) 360
c) 540
d) 630
e) 750
a) 240
b) 360
c) 540
d) 630
e) 750
Passo 1
O enunciado diz que
,
e
são as raízes da equação
. Pede-se o valor de
e fornece as alternativas
. Informações importantes dadas pelo enunciado:
- O polinômio é
. - As raízes são
. - Queremos calcular
em função de .
Passo 2
Primeiro vou reescrever
de forma mais manejável. Note que
portanto
Essa forma mostra que basta calcular o produto
e dividir por
.
Passo 3
Vou usar somas simétricas das raízes. Para o polinômio
valem (pela relação entre coeficientes e raízes):
Expliquei: em um cúbico
os
são exatamente essas somas simétricas.
Passo 4
Defino os polinômios simétricos das quadraturas:
Há uma identidade algébrica útil para
:
Aplicando com
etc, obtemos
ou seja
Passo 5
Calculo
. Usando
segue
Substituindo
e
:
Passo 6
Agora
. Note que
, portanto
Substituindo
,
,
:
Passo 7
Finalmente
. Como
,
Passo 8
Agora uso a fórmula do Passo 4:
Faço as contas passo a passo:
logo
Passo 9
Lembro que
. Assim
Passo 10
Simplifico a fração
. Dividindo numerador e denominador por
ou fazendo a conta:
pois
.
Passo 11
Portanto
, que corresponde à alternativa (e).
Resposta
e) 750