(Encontro de Matemática da Duke de 2024 - modificada) Se a, b e c são as raízes da equação x^{3}-11 x^{2}+56 x-6=0. O valor de P=\left(1+\frac{a^{2}}{b^{2}}\right)\left(1+\frac{b^{2}}{c^{2}}\right)\left(1+\frac{c^{2}}{a^{2}}\right) é igual a:
a) 240
b) 360
c) 540
d) 630
e) 750

Passo 1

O enunciado diz que a, b e c são as raízes da equação x^{3}-11x^{2}+56x-6=0. Pede-se o valor de
P=\left(1+\frac{a^{2}}{b^{2}}\right)\left(1+\frac{b^{2}}{c^{2}}\right)\left(1+\frac{c^{2}}{a^{2}}\right),
e fornece as alternativas 240,360,540,630,750. Informações importantes dadas pelo enunciado:
  • O polinômio é x^{3}-11x^{2}+56x-6.
  • As raízes são a,b,c.
  • Queremos calcular P em função de a,b,c.

Passo 2

Primeiro vou reescrever P de forma mais manejável. Note que
1+\frac{a^{2}}{b^{2}}=\frac{b^{2}+a^{2}}{b^{2}},
portanto
P=\frac{(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})}{a^{2}b^{2}c^{2}}.
Essa forma mostra que basta calcular o produto A=(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2}) e dividir por a^{2}b^{2}c^{2}.

Passo 3

Vou usar somas simétricas das raízes. Para o polinômio x^{3}-11x^{2}+56x-6 valem (pela relação entre coeficientes e raízes):
s_{1}=a+b+c=11,\qquad s_{2}=ab+bc+ca=56,\qquad s_{3}=abc=6.
Expliquei: em um cúbico x^{3}-s_{1}x^{2}+s_{2}x-s_{3} os s_i são exatamente essas somas simétricas.

Passo 4

Defino os polinômios simétricos das quadraturas:
e_{1}=a^{2}+b^{2}+c^{2},\qquad e_{2}=a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2},\qquad e_{3}=a^{2}b^{2}c^{2}.
Há uma identidade algébrica útil para u=a^{2},v=b^{2},w=c^{2}:
(u+v)(v+w)(w+u)=(u+v+w)(uv+vw+wu)-uvw.
Aplicando com u=a^{2} etc, obtemos
A=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})-a^{2}b^{2}c^{2},
ou seja
A=e_{1}e_{2}-e_{3}.

Passo 5

Calculo e_{1}=a^{2}+b^{2}+c^{2}. Usando (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca) segue
e_{1}=s_{1}^{2}-2s_{2}.
Substituindo s_{1}=11 e s_{2}=56:
e_{1}=11^{2}-2\cdot56=121-112=9.

Passo 6

Agora e_{2}=a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}. Note que (ab+bc+ca)^{2}=a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+2abc(a+b+c), portanto
e_{2}=s_{2}^{2}-2s_{1}s_{3}.
Substituindo s_{1}=11, s_{2}=56, s_{3}=6:
e_{2}=56^{2}-2\cdot11\cdot6=3136-132=3004.

Passo 7

Finalmente e_{3}=a^{2}b^{2}c^{2}=(abc)^{2}=s_{3}^{2}. Como s_{3}=6,
e_{3}=6^{2}=36.

Passo 8

Agora uso a fórmula do Passo 4:
A=e_{1}e_{2}-e_{3}=9\cdot3004-36.
Faço as contas passo a passo:
9\cdot3004=9\cdot3000+9\cdot4=27000+36=27036,
logo
A=27036-36=27000.

Passo 9

Lembro que a^{2}b^{2}c^{2}=e_{3}=36. Assim
P=\frac{A}{a^{2}b^{2}c^{2}}=\frac{27000}{36}.

Passo 10

Simplifico a fração \dfrac{27000}{36}. Dividindo numerador e denominador por 36 ou fazendo a conta:
27000\div36=750,
pois 36\cdot750=36\cdot(700+50)=25200+1800=27000.

Passo 11

Portanto P=750, que corresponde à alternativa (e).

Resposta

e) 750

Exercícios relacionados