(Encontro de Matemática da Duke de 2024 - modificada) Seja S a área da figura no plano complexo formada por todos os afixos x que satisfazem a equação x^{3}-(i \sqrt{3}+1) x^{2}+ (i \sqrt{3}-1) x+1=0 e y que satisfaz y^{4}=1. Se a área S pode ser escrita como \left(\frac{a+\sqrt{b}}{c}\right), onde b não é múltiplo de um quadrado de um número primo, o valor de (a+b+c) vale:
a) 18
b) 15
c) 12
d) 10
e) 8

Passo 1

O enunciado pede a área S da figura no plano complexo formada pelos afixos (pontos) que são raízes das duas equações dadas:
  • x^{3}-(i \sqrt{3}+1) x^{2}+ (i \sqrt{3}-1) x+1=0;
  • y^{4}=1.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A primeira equação é um polinômio cúbico com coeficientes complexos.
  • A segunda equação é a equação dos quartos raízes da unidade.
  • O conjunto de pontos que define a figura é a união das raízes dessas duas equações no plano complexo.
  • Objetivo final: escrever a área S na forma \left(\dfrac{a+\sqrt{b}}{c}\right) (com b livre de quadrados primos) e calcular a+b+c.

Passo 2

Vamos encontrar explicitamente as raízes de y^{4}=1. Essa é a equação das raízes quarta da unidade; suas soluções são os números complexos cuja magnitude é 1 e cujos argumentos são múltiplos de \dfrac{\pi}{2}. Assim:
y \in \{1,\,-1,\,i,\,-i\}.
Explanação curta: as soluções são e^{i\frac{\pi k}{2}} para k=0,1,2,3, que dão exatamente os quatro pontos listados.

Passo 3

Agora vamos resolver o cúbico
x^{3}-(i \sqrt{3}+1) x^{2}+ (i \sqrt{3}-1) x+1=0.
Primeiro testamos x=1. Substituindo:
1-(i\sqrt3+1)+ (i\sqrt3-1)+1 = 0,
portanto x=1 é raiz. Logo o polinômio é divisível por x-1. Fazemos a divisão polinomial (ou sintética). Dividindo, obtemos o quociente
x^{2}-i\sqrt3\,x-1.
Portanto
x^{3}-(i \sqrt{3}+1) x^{2}+ (i \sqrt{3}-1) x+1=(x-1)\left(x^{2}-i\sqrt3\,x-1\right).
Resolvendo a quadrática pelo fórmula:
x=\frac{i\sqrt3 \pm \sqrt{(i\sqrt3)^{2}+4}}{2}.
Calculamos o discriminante:
(i\sqrt3)^{2} = i^{2}\,3 = -3,\quad\text{logo}\quad (i\sqrt3)^{2}+4 = -3+4=1,
e \sqrt{1}=1. Assim as outras duas raízes são
x=\frac{i\sqrt3 \pm 1}{2}.
Escrevendo em termos de parte real e imaginária:
x=\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt3}{2} \quad\text{e}\quad x=-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt3}{2}.

Passo 4

Reunindo todas as raízes (sem repetições) das duas equações temos os pontos no plano complexo:
1,\quad -1,\quad i,\quad -i,\quad \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2},\quad -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2}.
Observações importantes (cada uma justificada):
  • Todos esses pontos têm módulo 1. Por exemplo, para x=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt3}{2} tem-se |x|=\sqrt{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{\sqrt3}{2}\right)^{2}}=1. O mesmo vale para as demais raízes listadas.
  • Portanto todos os pontos estão sobre o círculo unitário centrado na origem.
  • Os argumentos (ângulos) desses pontos são, em graus: 1 \mapsto 0^\circ,\quad \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2}\mapsto 60^\circ,\quad -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2}\mapsto 120^\circ,
-1\mapsto 180^\circ,\quad i\mapsto 90^\circ,\quad -i\mapsto 270^\circ.
Organizando em ordem CCW ao redor do círculo (a partir de 0^\circ): 0^\circ,\;60^\circ,\;90^\circ,\;120^\circ,\;180^\circ,\;270^\circ.

Passo 5

Para calcular a área S do polígono convexo formado por esses vértices (o invólucro convexo é exatamente o polígono cujos vértices são esses pontos na ordem angular), usamos uma ideia geométrica simples e muito útil:
Se temos dois raios de um círculo de mesmo comprimento r que formam um ângulo \Delta\theta no centro, a área do triângulo isósceles com vértices na origem e nos dois pontos da circunferência é
\text{área do triângulo}=\frac{1}{2}r^{2}\sin(\Delta\theta).áâ
Justificativa rápida: a área de um triângulo com lados a,b e ângulo entre eles \gamma é \tfrac{1}{2}ab\sin\gamma. Aqui a=b=r.
Como todos os vértices estão na circunferência de raio r=1 e o polígono é convexo e contém a origem, podemos decompor o polígono em tais triângulos centrados na origem entre vértices consecutivos. Então a área do polígono é
S=\frac{1}{2}\sum_{k}\sin(\Delta\theta_{k}),
onde \Delta\theta_{k} são os arcos centrais entre vértices consecutivos (medidos em radianos).

Passo 6

Calculamos os ângulos centrais entre vértices consecutivos (em radianos), seguindo a ordem 0^\circ\to60^\circ\to90^\circ\to120^\circ\to180^\circ\to270^\circ\to360^\circ(=0^\circ):
\Delta\theta \in \left\{\frac{\pi}{3},\;\frac{\pi}{6},\;\frac{\pi}{6},\;\frac{\pi}{3},\;\frac{\pi}{2},\;\frac{\pi}{2}\right\}.
Verificação: \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=2\pi, como deve ser.
Aplicando a fórmula da área (com r=1):
S=\frac{1}{2}\left(\sin\frac{\pi}{3}+\sin\frac{\pi}{6}+\sin\frac{\pi}{6}+\sin\frac{\pi}{3}+\sin\frac{\pi}{2}+\sin\frac{\pi}{2}\right).
Calculamos cada seno:
\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2},\quad \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2},\quad \sin\frac{\pi}{2}=1.
Substituindo e somando:
\begin{aligned} S &= \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}+1+1\right)\\[4pt] &= \frac{1}{2}\left(\sqrt3 +1 +2\right)\\[4pt] &= \frac{1}{2}\left(\sqrt3 +3\right). \end{aligned}]

Passo 7

Escrevendo S no formato pedido \dfrac{a+\sqrt{b}}{c} obtemos
S=\frac{3+\sqrt{3}}{2},
onde a=3, b=3 (note que 3 não é múltiplo do quadrado de nenhum primo) e c=2. Portanto
a+b+c = 3+3+2 = 8.
Força aí — você já tem a resposta pronta.

Resposta

8

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