(Encontro de Matemática da Duke de 2024 - modificada) Seja
a área da figura no plano complexo formada por todos os afixos
que satisfazem a equação
e
que satisfaz
. Se a área
pode ser escrita como
, onde
não é múltiplo de um quadrado de um número primo, o valor de
vale:
a) 18
b) 15
c) 12
d) 10
e) 8
a) 18
b) 15
c) 12
d) 10
e) 8
Passo 1
O enunciado pede a área
da figura no plano complexo formada pelos afixos (pontos) que são raízes das duas equações dadas:
-
; -
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A primeira equação é um polinômio cúbico com coeficientes complexos.
- A segunda equação é a equação dos quartos raízes da unidade.
- O conjunto de pontos que define a figura é a união das raízes dessas duas equações no plano complexo.
- Objetivo final: escrever a área
na forma (com livre de quadrados primos) e calcular .
Passo 2
Vamos encontrar explicitamente as raízes de
. Essa é a equação das raízes quarta da unidade; suas soluções são os números complexos cuja magnitude é
e cujos argumentos são múltiplos de
. Assim:
Explanação curta: as soluções são
para
, que dão exatamente os quatro pontos listados.
Passo 3
Agora vamos resolver o cúbico
Primeiro testamos
. Substituindo:
portanto
é raiz. Logo o polinômio é divisível por
. Fazemos a divisão polinomial (ou sintética). Dividindo, obtemos o quociente
Portanto
Resolvendo a quadrática pelo fórmula:
Calculamos o discriminante:
e
. Assim as outras duas raízes são
Escrevendo em termos de parte real e imaginária:
Passo 4
Reunindo todas as raízes (sem repetições) das duas equações temos os pontos no plano complexo:
Observações importantes (cada uma justificada):
- Todos esses pontos têm módulo
. Por exemplo, para tem-se . O mesmo vale para as demais raízes listadas. - Portanto todos os pontos estão sobre o círculo unitário centrado na origem.
- Os argumentos (ângulos) desses pontos são, em graus:
Organizando em ordem CCW ao redor do círculo (a partir de
):
.
Passo 5
Para calcular a área
do polígono convexo formado por esses vértices (o invólucro convexo é exatamente o polígono cujos vértices são esses pontos na ordem angular), usamos uma ideia geométrica simples e muito útil:
Se temos dois raios de um círculo de mesmo comprimento
que formam um ângulo
no centro, a área do triângulo isósceles com vértices na origem e nos dois pontos da circunferência é
Justificativa rápida: a área de um triângulo com lados
e ângulo entre eles
é
. Aqui
.
Como todos os vértices estão na circunferência de raio
e o polígono é convexo e contém a origem, podemos decompor o polígono em tais triângulos centrados na origem entre vértices consecutivos. Então a área do polígono é
onde
são os arcos centrais entre vértices consecutivos (medidos em radianos).
Passo 6
Calculamos os ângulos centrais entre vértices consecutivos (em radianos), seguindo a ordem
:
Verificação:
, como deve ser.
Aplicando a fórmula da área (com
):
Calculamos cada seno:
Substituindo e somando:
Passo 7
Escrevendo
no formato pedido
obtemos
onde
,
(note que
não é múltiplo do quadrado de nenhum primo) e
. Portanto
Força aí — você já tem a resposta pronta.
Resposta
8