Problema 02. (Olimpíada de Matemática da República Democrática Alemã de 1966 - modificada) Sabendo que o valor de
pode ser escrito da forma
com
,
e
números inteiros positivos. Podemos afirmar sobre o valor de (I.T.A) é igual ao número:
a) Quadrado perfeito
b) Ímpar
c) Múltiplo de 5
d) Divisível por 8
e) Cubo perfeito
a) Quadrado perfeito
b) Ímpar
c) Múltiplo de 5
d) Divisível por 8
e) Cubo perfeito
Passo 1
O enunciado dá que
pode ser escrito na forma
com
inteiros positivos. A pergunta é: qual das alternativas abaixo é verdadeira para o produto
?
a) Quadrado perfeito
b) Ímpar
c) Múltiplo de 5
d) Divisível por 8
e) Cubo perfeito
a) Quadrado perfeito
b) Ímpar
c) Múltiplo de 5
d) Divisível por 8
e) Cubo perfeito
Passo 2
Vamos calcular
usando a fórmula da tangente de meia-ângulo. Primeiro precisamos de
e
. Usando a fórmula de diferença:
Sabendo
,
,
, obtemos
De maneira análoga,
Passo 3
Usamos a fórmula da tangente da metade do ângulo:
Tomando
obtemos
Passo 4
Simplificando a fração (multiplicando numerador e denominador por
):
Passo 5
Agora mostramos que essa expressão é igual a
. Queremos provar
Multiplicando ambos os lados pelo denominador
e vendo que o produto dá o numerador, verificamos a identidade. Façamos a expansão do lado direito vezes o denominador:
Calcule
Expandindo termo a termo:
Agora cada peça:
Somando todos os termos, os termos constantes
se anulam e os termos em
também se anulam; os restantes ficam
Portanto a expansão resulta exatamente em
, que era o numerador. Assim a igualdade é verdadeira e
Passo 6
Comparando com a forma dada
, identificamos
O produto é
Agora verificamos as alternativas:
-
é um quadrado perfeito, pois . Logo a alternativa (a) é verdadeira. -
não é ímpar (é par), então (b) é falsa. -
não é múltiplo de , então (c) é falsa. -
não é divisível por (pois ), então (d) é falsa. -
não é cubo perfeito (entre e ), então (e) é falsa.
Resposta
a) Quadrado perfeito