Problema 02. (Olimpíada de Matemática da República Democrática Alemã de 1966 - modificada) Sabendo que o valor de \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{24}\right) pode ser escrito da forma (\sqrt{I}+\sqrt{T}-\sqrt{A}-2) com I, T e A números inteiros positivos. Podemos afirmar sobre o valor de (I.T.A) é igual ao número:
a) Quadrado perfeito
b) Ímpar
c) Múltiplo de 5
d) Divisível por 8
e) Cubo perfeito

Passo 1

O enunciado dá que \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\pi}{24}\right) pode ser escrito na forma \bigl(\sqrt{I}+\sqrt{T}-\sqrt{A}-2\bigr) com I,T,A inteiros positivos. A pergunta é: qual das alternativas abaixo é verdadeira para o produto I\cdot T\cdot A?
a) Quadrado perfeito
b) Ímpar
c) Múltiplo de 5
d) Divisível por 8
e) Cubo perfeito

Passo 2

Vamos calcular \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\pi}{24}\right)=\tan(7{,}5^\circ) usando a fórmula da tangente de meia-ângulo. Primeiro precisamos de \sin 15^\circ e \cos 15^\circ. Usando a fórmula de diferença:
\sin(15^\circ)=\sin(45^\circ-30^\circ)=\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ.
Sabendo \sin45^\circ=\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \sin30^\circ=\dfrac{1}{2}, \cos30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, obtemos
\sin15^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.
De maneira análoga,
\cos15^\circ=\cos(45^\circ-30^\circ)=\cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.

Passo 3

Usamos a fórmula da tangente da metade do ângulo:
\tan\!\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}.
Tomando \theta=15^\circ obtemos
\tan(7{,}5^\circ)=\frac{\sin15^\circ}{1+\cos15^\circ} =\frac{\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{1+\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}.

Passo 4

Simplificando a fração (multiplicando numerador e denominador por 4):
\tan(7{,}5^\circ)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4+\sqrt{6}+\sqrt{2}}.

Passo 5

Agora mostramos que essa expressão é igual a \sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{3}-2. Queremos provar
\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4+\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{3}-2.
Multiplicando ambos os lados pelo denominador 4+\sqrt{6}+\sqrt{2} e vendo que o produto dá o numerador, verificamos a identidade. Façamos a expansão do lado direito vezes o denominador:
Calcule
(\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{3}-2)(4+\sqrt{6}+\sqrt{2}).
Expandindo termo a termo:
\begin{aligned} &\sqrt{6}\,(4+\sqrt{6}+\sqrt{2})+\sqrt{2}\,(4+\sqrt{6}+\sqrt{2})\\\ &\quad -\sqrt{3}\,(4+\sqrt{6}+\sqrt{2})-2(4+\sqrt{6}+\sqrt{2}). \end{aligned}
Agora cada peça:
\begin{aligned} \sqrt{6}\cdot4&=4\sqrt{6},&\quad \sqrt{6}\cdot\sqrt{6}&=6,&\quad \sqrt{6}\cdot\sqrt{2}&=\sqrt{12}=2\sqrt{3},\\\ \sqrt{2}\cdot4&=4\sqrt{2},&\quad \sqrt{2}\cdot\sqrt{6}&=\sqrt{12}=2\sqrt{3},&\quad \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}&=2,\\\\ -\sqrt{3}\cdot4&=-4\sqrt{3},&\quad -\sqrt{3}\cdot\sqrt{6}&=-\sqrt{18}=-3\sqrt{2},&\quad -\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}&=-\sqrt{6},\\\\ -2\cdot4&=-8,&\quad -2\cdot\sqrt{6}&=-2\sqrt{6},&\quad -2\cdot\sqrt{2}&=-2\sqrt{2}. \end{aligned}
Somando todos os termos, os termos constantes 6+2-8 se anulam e os termos em \sqrt{3} também se anulam; os restantes ficam
\sqrt{6}-\sqrt{2}.
Portanto a expansão resulta exatamente em \sqrt{6}-\sqrt{2}, que era o numerador. Assim a igualdade é verdadeira e
\tan\!\left(\frac{\pi}{24}\right)=\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{3}-2.

Passo 6

Comparando com a forma dada \sqrt{I}+\sqrt{T}-\sqrt{A}-2, identificamos
I=6,\qquad T=2,\qquad A=3.
O produto é
I\cdot T\cdot A=6\cdot2\cdot3=36.
Agora verificamos as alternativas:
  • 36 é um quadrado perfeito, pois 36=6^2. Logo a alternativa (a) é verdadeira.
  • 36 não é ímpar (é par), então (b) é falsa.
  • 36 não é múltiplo de 5, então (c) é falsa.
  • 36 não é divisível por 8 (pois 36\mod 8=4), então (d) é falsa.
  • 36 não é cubo perfeito (entre 3^3=27 e 4^3=64), então (e) é falsa.

Resposta

a) Quadrado perfeito

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