Verifique que a equação sen (x)=x-1 possui pelo menos uma solução.
Dica: Observe que as soluções de g(x)=h(x) são exatamente as raízes de f(x)=g(x)-h(x).

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a equação \sin(x)=x-1 possui pelo menos uma solução.
Informações dadas e o que vamos usar:
  • A equação é entre duas funções: g(x)=\sin(x) e h(x)=x-1.
  • A dica diz que as soluções de g(x)=h(x) são exatamente as raízes de f(x)=g(x)-h(x). Portanto vamos estudar as raízes de f.

Passo 2

Definimos a função cuja raiz buscamos:
f(x)=\sin(x)-(x-1)=\sin(x)-x+1.
Explicação: qualquer x que satisfaça \sin(x)=x-1 também satisfaz f(x)=0, e vice-versa — por isso resolver \sin(x)=x-1 é o mesmo que encontrar zeros de f.

Passo 3

Mostramos que f é contínua em todo \mathbb{R}.
Motivo didático: a função \sin(x) é contínua em \mathbb{R} (pequenas variações em x produzem pequenas variações em \sin(x)); a função identidade x\mapsto x e a função constante 1 também são contínuas. Soma e subtração de funções contínuas são contínuas. Logo f(x)=\sin(x)-x+1 é contínua em \mathbb{R}.
Intuição rápida sobre continuidade: não há “saltos” em f; então, se valores em dois pontos têm sinais diferentes, entre eles a função tem que passar por zero.

Passo 4

Calculamos f em dois pontos estratégicos para tentar obter mudança de sinal (isso abrirá caminho para o Teorema do Valor Intermediário):
  • Em x=0:
f(0)=\sin(0)-0+1=0-0+1=1.
Logo f(0)=1>0.
  • Em x=\pi:
f(\pi)=\sin(\pi)-\pi+1=0-\pi+1=1-\pi.
Como \pi\approx 3{,}1416, tem-se 1-\pi\approx -2{,}1416<0. Logo f(\pi)<0.
Portanto f(0)>0 e f(\pi)<0: os valores em 0 e \pi têm sinais opostos.

Passo 5

Apresentamos o Teorema do Valor Intermediário (TVI) de forma simples e com intuição:
Se uma função f é contínua em um intervalo fechado [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos (ou seja, f(a)\cdot f(b)<0), então existe pelo menos um ponto c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.
Intuição: uma curva contínua que vai de um valor positivo a um valor negativo tem que cruzar o eixo x em algum ponto entre a e b.

Passo 6

Aplicamos o TVI ao caso concreto: f é contínua em [0,\pi], e vimos que f(0)=1>0 e f(\pi)=1-\pi<0. Como f(0)\cdot f(\pi)<0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe c\in(0,\pi) tal que f\text{(c)}=0. Pelo que definimos em Passo 2, isso significa que
\sin\text{(c)}=c-1.
Comentário final: o argumento garante pelo menos uma solução em (0,\pi). Podem existir mais soluções em outros intervalos, mas aqui basta a existência de pelo menos uma.

Resposta

Existe pelo menos uma solução c\in(0,\pi) tal que \sin\text{(c)}=c-1.

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