Verifique que a equação sen
possui pelo menos uma solução.
Dica: Observe que as soluções de
são exatamente as raízes de
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a equação
possui pelo menos uma solução.
Informações dadas e o que vamos usar:
Informações dadas e o que vamos usar:
- A equação é entre duas funções:
e . - A dica diz que as soluções de
são exatamente as raízes de . Portanto vamos estudar as raízes de .
Passo 2
Definimos a função cuja raiz buscamos:
Explicação: qualquer
que satisfaça
também satisfaz
, e vice-versa — por isso resolver
é o mesmo que encontrar zeros de
.
Passo 3
Mostramos que
é contínua em todo
.
Motivo didático: a função é contínua em
(pequenas variações em
produzem pequenas variações em
); a função identidade
e a função constante
também são contínuas. Soma e subtração de funções contínuas são contínuas. Logo
é contínua em
.
Intuição rápida sobre continuidade: não há “saltos” em ; então, se valores em dois pontos têm sinais diferentes, entre eles a função tem que passar por zero.
Motivo didático: a função
Intuição rápida sobre continuidade: não há “saltos” em
Passo 4
Calculamos
em dois pontos estratégicos para tentar obter mudança de sinal (isso abrirá caminho para o Teorema do Valor Intermediário):
- Em
:
Logo
.
- Em
:
Como
, tem-se
. Logo
.
Portanto
e
: os valores em
e
têm sinais opostos.
Passo 5
Apresentamos o Teorema do Valor Intermediário (TVI) de forma simples e com intuição:
Se uma função é contínua em um intervalo fechado
e
e
têm sinais opostos (ou seja,
), então existe pelo menos um ponto
tal que
.
Intuição: uma curva contínua que vai de um valor positivo a um valor negativo tem que cruzar o eixo em algum ponto entre
e
.
Se uma função
Intuição: uma curva contínua que vai de um valor positivo a um valor negativo tem que cruzar o eixo
Passo 6
Aplicamos o TVI ao caso concreto:
é contínua em
, e vimos que
e
. Como
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe
tal que
. Pelo que definimos em Passo 2, isso significa que
Comentário final: o argumento garante pelo menos uma solução em
. Podem existir mais soluções em outros intervalos, mas aqui basta a existência de pelo menos uma.
Resposta
Existe pelo menos uma solução
tal que
.