Mostre que
tem uma raiz em
e use o método da bissecção para determinar uma aproximação da raiz que tenha precisão de pelo menos
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar que a equação
tem pelo menos uma raiz no intervalo . - Usar o método da bissecção para encontrar uma aproximação dessa raiz com precisão de pelo menos
.
Informações dadas (que serão usadas diretamente):
Passo 2
Primeiro vamos mostrar a existência de uma raiz em
. Para isso usamos a ideia básica do Teorema do Valor Intermediário: se
é contínua em
e
e
têm sinais opostos, então existe
tal que
.
A função polinomial
é contínua em todo
. Calculo
nas extremidades:
Como
e
, há troca de sinal em
. Pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz
em
tal que
. Pronto: a raiz existe.
Passo 3
Agora explico o método da bissecção (forma prática e a estimativa de erro).
Ideia: começa-se com um intervalo
onde
e
têm sinais opostos. Calcula-se o ponto médio
Avalia-se
. Se
terminou; senão escolhe-se o subintervalo onde ocorre a troca de sinal, ou seja:
- se
então nova iteração com , - se
então nova iteração com .
Propriedade de convergência e critério de parada: após
iterações o comprimento do intervalo é
Se tomarmos como aproximação qualquer ponto dentro de
(usualmente o ponto médio), o erro absoluto em relação à raiz real
é bounded por
Queremos erro
. Com
(pois
), precisamos de
tal que
Isto é equivalente a
Calculando
:
Portanto o menor
inteiro que garante a precisão é
. Ou seja, são necessárias 13 iterações de bissecção para garantir erro
.
Passo 4
Executamos 13 iterações do método da bissecção, mostrando em cada iteração o intervalo atual, o ponto médio e o sinal de
. (As contas estão detalhadas e arredondadas quando necessário; em todas as avaliações usei a fórmula
.)
It. 1:
Como
e
, escolhemos
.
It. 2:
Troca de sinal entre
e
; novo intervalo
.
It. 3:
Novo intervalo
.
It. 4:
Novo intervalo
.
It. 5:
Novo intervalo
.
It. 6:
Novo intervalo
.
It. 7:
Novo intervalo
.
It. 8:
Novo intervalo
.
It. 9:
(positivo, muito próximo de zero). Novo intervalo
.
It. 10:
Novo intervalo
.
It. 11:
Novo intervalo
.
It. 12:
Novo intervalo
.
It. 13:
Como
e
, o novo (e final, pois já fizemos 13 iterações) intervalo é
Passo 5
Agora verificamos a condição de erro. O comprimento do intervalo final é
Logo o erro máximo ao escolher o ponto médio do intervalo final é
Assim qualquer ponto do intervalo final tem erro absoluto menor que
. Tomando a aproximação como o ponto médio do intervalo final,
Portanto essa aproximação satisfaz a precisão pedida. Parabéns — com 13 iterações garantimos erro menor que
.