Mostre que f(x)=x^{3}+4 x^{2}-10=0 tem uma raiz em [1,2] e use o método da bissecção para determinar uma aproximação da raiz que tenha precisão de pelo menos 10^{-4}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Mostrar que a equação f(x)=x^{3}+4x^{2}-10=0 tem pelo menos uma raiz no intervalo [1,2].
  • Usar o método da bissecção para encontrar uma aproximação dessa raiz com precisão de pelo menos 10^{-4}.
Informações dadas (que serão usadas diretamente):
f(x)=x^{3}+4x^{2}-10,\qquad \text{intervalo inicial }[a_0,b_0]=[1,2].

Passo 2

Primeiro vamos mostrar a existência de uma raiz em [1,2]. Para isso usamos a ideia básica do Teorema do Valor Intermediário: se f é contínua em [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.
A função polinomial f é contínua em todo \mathbb{R}. Calculo f nas extremidades:
f(1)=1^{3}+4\cdot1^{2}-10=1+4-10=-5,
f(2)=2^{3}+4\cdot2^{2}-10=8+16-10=14.
Como f(1)=-5<0 e f(2)=14>0, há troca de sinal em [1,2]. Pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz \xi em (1,2) tal que f(\xi)=0. Pronto: a raiz existe.

Passo 3

Agora explico o método da bissecção (forma prática e a estimativa de erro).
Ideia: começa-se com um intervalo [a,b] onde f(a) e f(b) têm sinais opostos. Calcula-se o ponto médio
m=\frac{a+b}{2}.
Avalia-se f(m). Se f(m)=0 terminou; senão escolhe-se o subintervalo onde ocorre a troca de sinal, ou seja:
  • se f(a)\cdot f(m)<0 então nova iteração com [a,m],
  • se f(m)\cdot f(b)<0 então nova iteração com [m,b].
Propriedade de convergência e critério de parada: após n iterações o comprimento do intervalo é
b_n-a_n=\frac{b_0-a_0}{2^{n}}.
Se tomarmos como aproximação qualquer ponto dentro de [a_n,b_n] (usualmente o ponto médio), o erro absoluto em relação à raiz real \xi é bounded por
\left|\text{aprox}-\xi\right|\le \frac{b_n-a_n}{2}.
Queremos erro \le 10^{-4}. Com b_0-a_0=1 (pois 2-1=1), precisamos de n tal que
\frac{1}{2^{n+1}}\le 10^{-4}.
Isto é equivalente a
2^{n+1}\ge 10000.
Calculando \log_2:
n+1\ge \log_2(10000)\approx 13{,}2877\quad\Rightarrow\quad n\ge 12{,}2877.
Portanto o menor n inteiro que garante a precisão é n=13. Ou seja, são necessárias 13 iterações de bissecção para garantir erro \le 10^{-4}.

Passo 4

Executamos 13 iterações do método da bissecção, mostrando em cada iteração o intervalo atual, o ponto médio e o sinal de f(m). (As contas estão detalhadas e arredondadas quando necessário; em todas as avaliações usei a fórmula f(x)=x^{3}+4x^{2}-10.)
It. 1:
a_0=1,\quad b_0=2,\qquad m_1=\frac{1+2}{2}=1{,}5,
f(1{,}5)=1{,}5^{3}+4\cdot1{,}5^{2}-10=3{,}375+9-10=2{,}375>0.
Como f(1)<0 e f(1{,}5)>0, escolhemos [a_1,b_1]=[1,1{,}5].
It. 2:
m_2=\frac{1+1{,}5}{2}=1{,}25,
f(1{,}25)=1{,}25^{3}+4\cdot1{,}25^{2}-10=1{,}953125+6{,}25-10=-1{,}796875<0.
Troca de sinal entre m_2 e b_1; novo intervalo [a_2,b_2]=[1{,}25,1{,}5].
It. 3:
m_3=\frac{1{,}25+1{,}5}{2}=1{,}375,
f(1{,}375)=1{,}375^{3}+4\cdot1{,}375^{2}-10\approx0{,}162109375>0.
Novo intervalo [a_3,b_3]=[1{,}25,1{,}375].
It. 4:
m_4=\frac{1{,}25+1{,}375}{2}=1{,}3125,
f(1{,}3125)\approx-0{,}848388671875<0.
Novo intervalo [a_4,b_4]=[1{,}3125,1{,}375].
It. 5:
m_5=\frac{1{,}3125+1{,}375}{2}=1{,}34375,
f(1{,}34375)\approx-0{,}34607666015625<0.
Novo intervalo [a_5,b_5]=[1{,}34375,1{,}375].
It. 6:
m_6=\frac{1{,}34375+1{,}375}{2}=1{,}359375,
f(1{,}359375)\approx-0{,}0952463625<0.
Novo intervalo [a_6,b_6]=[1{,}359375,1{,}375].
It. 7:
m_7=\frac{1{,}359375+1{,}375}{2}=1{,}3671875,
f(1{,}3671875)\approx0{,}0331760625>0.
Novo intervalo [a_7,b_7]=[1{,}359375,1{,}3671875].
It. 8:
m_8=\frac{1{,}359375+1{,}3671875}{2}=1{,}36328125,
f(1{,}36328125)\approx-0{,}0341825485<0.
Novo intervalo [a_8,b_8]=[1{,}36328125,1{,}3671875].
It. 9:
m_9=\frac{1{,}36328125+1{,}3671875}{2}=1{,}365234375,
f(1{,}365234375)\approx0{,}0000719596>0
(positivo, muito próximo de zero). Novo intervalo [a_9,b_9]=[1{,}36328125,1{,}365234375].
It. 10:
m_{10}=\frac{1{,}36328125+1{,}365234375}{2}=1{,}3642578125,
f(1{,}3642578125)\approx-0{,}0160504<0.
Novo intervalo [a_{10},b_{10}]=[1{,}3642578125,1{,}365234375].
It. 11:
m_{11}=\frac{1{,}3642578125+1{,}365234375}{2}=1{,}36474609375,
f(1{,}36474609375)\approx-0{,}0079990<0.
Novo intervalo [a_{11},b_{11}]=[1{,}36474609375,1{,}365234375].
It. 12:
m_{12}=\frac{1{,}36474609375+1{,}365234375}{2}=1{,}364990234375,
f(1{,}364990234375)\approx-0{,}0039689<0.
Novo intervalo [a_{12},b_{12}]=[1{,}364990234375,1{,}365234375].
It. 13:
m_{13}=\frac{1{,}364990234375+1{,}365234375}{2}=1{,}3651123046875,
f(1{,}3651123046875)\approx-0{,}0019539<0.
Como f(m_{13})<0 e f(b_{12})>0, o novo (e final, pois já fizemos 13 iterações) intervalo é
[a_{13},b_{13}]=[1{,}3651123046875,\;1{,}365234375].

Passo 5

Agora verificamos a condição de erro. O comprimento do intervalo final é
b_{13}-a_{13}=1{,}365234375-1{,}3651123046875=\;0{,}0001220703125.
Logo o erro máximo ao escolher o ponto médio do intervalo final é
\frac{b_{13}-a_{13}}{2}=0{,}00006103515625<10^{-4}.
Assim qualquer ponto do intervalo final tem erro absoluto menor que 10^{-4}. Tomando a aproximação como o ponto médio do intervalo final,
\text{aprox}=\frac{a_{13}+b_{13}}{2}=\frac{1{,}3651123046875+1{,}365234375}{2}=1{,}36517333984375.
Portanto essa aproximação satisfaz a precisão pedida. Parabéns — com 13 iterações garantimos erro menor que 10^{-4}.

Resposta

1{,}36517333984375

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