Problema 04. (Olimpíada Regional da Bósnia e Herzegovina de 2018 - modificada) Se
são números pertencente ao intervalo
e o valor mínimo da expressão
é igual a
. Então a soma dos algarismos de
vale:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
Passo 1
O enunciado dá:
- Uma sequência
com cada . - A expressão a ser considerada é
- O enunciado pergunta: se o mínimo possível de
é , qual é a soma dos algarismos de ? (Escolhas dadas: 10, 11, 12, 13, 14.)
Informações relevantes e observações imediatas que vamos usar depois:
- Para todo
tem-se e , portanto e . - Cada termo da soma é do tipo
, razão entre dois números negativos — o quociente é positivo.
Passo 2
Estratégia: vamos agrupar os termos em pares adjacentes
. Mostraremos que cada par é maior ou igual a
. Como
é par, podemos particionar todos os termos em
pares disjuntos, e assim obter uma cota inferior para
. Depois exibiremos um caso de igualdade para garantir que essa cota é atingível (logo é o mínimo).
Antes de aplicar isso, precisamos de um lema simples que vale para qualquer
.
Passo 3
Lema: para todo
vale
Demonstração do lema (passo a passo, bem didático):
- A desigualdade
é equivalente (aplicando exponencial, monotonia de ) a
- Reorganizando:
- Observe que
, que é sempre . Portanto a desigualdade é verdadeira para todo , com igualdade exatamente quando . - Comentário sobre sinais: como
e , ao dividir expressões com logs mais adiante teremos de prestar atenção à inversão de desigualdades; aqui usamos apenas a monotonia do log/exponencial para transformar a desigualdade.
Do lema, definindo para cada índice
temos a relação
Como
e
, ao dividir por
(número negativo) obtemos
Chamo
(então
para todo
).
Passo 4
Agora peguemos um par adjacente fixo
. Escrevendo
,
,
,
, temos os dois termos do par:
Defina
Pelo Passo 3,
e
. Reescrevendo
em termos de
e da razão
(note que
porque ambos
são negativos), obtemos
Portanto
Passo 5
Aplicamos a desigualdade AM-GM à expressão em
. Para
e qualquer
,
Como
e
, temos
. Logo
Isto mostra que, para qualquer par adjacente
,
Além disso, a igualdade ocorre exatamente quando
e
, isto é, quando
Pelas identidades isso significa
(recorde que
equivale a
, pelo Passo 3).
Passo 6
Como
é par, podemos particionar os
termos de
em
pares disjuntos do tipo
. Pelo resultado do Passo 5, cada par contribui pelo menos
à soma total. Assim
Portanto o mínimo possível
satisfaz
.
Passo 7
Verificamos que a igualidade é realmente atingida: escolha
. Então cada termo é
Como há
termos, a soma vale
. Assim o mínimo
é exatamente
.
Passo 8
O problema pede a soma dos algarismos de
. Para
,
Força aí — você destrinchou uma desigualdade que parecia complicada, e o caso de igualdade foi simples:
para todo
.
Resposta
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