Problema 04. (Olimpíada Regional da Bósnia e Herzegovina de 2018 - modificada) Se x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{2026} são números pertencente ao intervalo \left(\frac{1}{4}, 1\right) e o valor mínimo da expressão \log _{x_{1}}\left(x_{2}-\frac{1}{4}\right)+\log _{x_{2}}\left(x_{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\log _{x_{2025}}\left(x_{2026}-\frac{1}{4}\right)+\log _{x_{2026}}\left(x_{1}-\frac{1}{4}\right) é igual a M. Então a soma dos algarismos de M vale:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14

Passo 1

O enunciado dá:
  • Uma sequência x_{1},x_{2},\dots,x_{2026} com cada x_{i}\in\left(\tfrac{1}{4},1\right).
  • A expressão a ser considerada é
S=\log_{x_{1}}\!\left(x_{2}-\tfrac{1}{4}\right)+\log_{x_{2}}\!\left(x_{3}-\tfrac{1}{4}\right)+\cdots+\log_{x_{2025}}\!\left(x_{2026}-\tfrac{1}{4}\right)+\log_{x_{2026}}\!\left(x_{1}-\tfrac{1}{4}\right).
  • O enunciado pergunta: se o mínimo possível de S é M, qual é a soma dos algarismos de M? (Escolhas dadas: 10, 11, 12, 13, 14.)
Informações relevantes e observações imediatas que vamos usar depois:
  • Para todo s\in\left(\tfrac{1}{4},1\right) tem-se 0<s- \tfrac{1}{4}<1 e 0<s<1, portanto \ln(s- \tfrac{1}{4})<0 e \ln s<0.
  • Cada termo da soma é do tipo \log_{x_i}\!(x_{i+1}-\tfrac{1}{4})=\dfrac{\ln(x_{i+1}-\tfrac{1}{4})}{\ln x_i}, razão entre dois números negativos — o quociente é positivo.

Passo 2

Estratégia: vamos agrupar os termos em pares adjacentes \big(\log_{x_i}(x_{i+1}-\tfrac14)+\log_{x_{i+1}}(x_i-\tfrac14)\big). Mostraremos que cada par é maior ou igual a 4. Como 2026 é par, podemos particionar todos os termos em 1013 pares disjuntos, e assim obter uma cota inferior para S. Depois exibiremos um caso de igualdade para garantir que essa cota é atingível (logo é o mínimo).
Antes de aplicar isso, precisamos de um lema simples que vale para qualquer s\in\left(\tfrac{1}{4},1\right).

Passo 3

Lema: para todo s\in\left(\tfrac{1}{4},1\right) vale
\ln\!\left(s-\tfrac{1}{4}\right)\le 2\ln s.
Demonstração do lema (passo a passo, bem didático):
  • A desigualdade \ln\!\left(s-\tfrac{1}{4}\right)\le 2\ln s é equivalente (aplicando exponencial, monotonia de e^x) a
s-\tfrac{1}{4}\le s^{2}.
  • Reorganizando:
s^{2}-s+\tfrac{1}{4}\ge 0.
  • Observe que s^{2}-s+\tfrac{1}{4}=(s-\tfrac{1}{2})^{2}, que é sempre \ge 0. Portanto a desigualdade é verdadeira para todo s, com igualdade exatamente quando s=\tfrac{1}{2}.
  • Comentário sobre sinais: como \ln s<0 e \ln(s-\tfrac14)<0, ao dividir expressões com logs mais adiante teremos de prestar atenção à inversão de desigualdades; aqui usamos apenas a monotonia do log/exponencial para transformar a desigualdade.
Do lema, definindo para cada índice i
A_i=\ln\!\left(x_i-\tfrac{1}{4}\right),\qquad a_i=\ln x_i,
temos a relação
A_i\le 2 a_i.
Como a_i<0 e A_i<0, ao dividir por a_i (número negativo) obtemos
\frac{A_i}{a_i}\ge 2.
Chamo \displaystyle p_i:=\frac{A_i}{a_i} (então p_i\ge 2 para todo i).

Passo 4

Agora peguemos um par adjacente fixo (x_i,x_{i+1}). Escrevendo a=a_i=\ln x_i, b=a_{i+1}=\ln x_{i+1}, A=A_i=\ln(x_i-\tfrac14), B=A_{i+1}=\ln(x_{i+1}-\tfrac14), temos os dois termos do par:
T:=\log_{x_i}\!\left(x_{i+1}-\tfrac{1}{4}\right)+\log_{x_{i+1}}\!\left(x_i-\tfrac{1}{4}\right) =\frac{B}{a}+\frac{A}{b}.
Defina
p=\frac{A}{a},\qquad q=\frac{B}{b}.
Pelo Passo 3, p\ge 2 e q\ge 2. Reescrevendo T em termos de p,q e da razão t=\dfrac{a}{b} (note que t>0 porque ambos a,b são negativos), obtemos
T=\frac{B}{a}+\frac{A}{b}= \frac{B}{b}\cdot\frac{b}{a}+\frac{A}{a}\cdot\frac{a}{b} = q\cdot\frac{1}{t}+p\cdot t.
Portanto
T = p\,t + \frac{q}{t}.

Passo 5

Aplicamos a desigualdade AM-GM à expressão em t. Para p,q\ge 2 e qualquer t>0,
p\,t+\frac{q}{t}\ge 2\sqrt{p\,t\cdot\frac{q}{t}}=2\sqrt{pq}.
Como p\ge 2 e q\ge 2, temos \sqrt{pq}\ge\sqrt{2\cdot 2}=2. Logo
T \ge 2\sqrt{pq}\ge 2\cdot 2 = 4.
Isto mostra que, para qualquer par adjacente (x_i,x_{i+1}),
\log_{x_i}\!\left(x_{i+1}-\tfrac{1}{4}\right)+\log_{x_{i+1}}\!\left(x_i-\tfrac{1}{4}\right)\ge 4.
Além disso, a igualdade ocorre exatamente quando p=q=2 e t=1, isto é, quando
\frac{A}{a}=2,\qquad \frac{B}{b}=2,\qquad a=b.
Pelas identidades isso significa x_i=x_{i+1}=\tfrac{1}{2} (recorde que \frac{A}{a}=2 equivale a x_i=\tfrac12, pelo Passo 3).

Passo 6

Como 2026 é par, podemos particionar os 2026 termos de S em 1013 pares disjuntos do tipo (1,2),(3,4),\dots,(2025,2026). Pelo resultado do Passo 5, cada par contribui pelo menos 4 à soma total. Assim
S \ge 1013\cdot 4 = 4052.
Portanto o mínimo possível M satisfaz M\ge 4052.

Passo 7

Verificamos que a igualidade é realmente atingida: escolha x_1=x_2=\cdots=x_{2026}=\tfrac{1}{2}. Então cada termo é
\log_{1/2}\!\left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}\right)=\log_{1/2}\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=\frac{\ln(1/4)}{\ln(1/2)}=\frac{-\ln 4}{-\ln 2}=2.
Como há 2026 termos, a soma vale 2026\cdot 2=4052. Assim o mínimo M é exatamente 4052.

Passo 8

O problema pede a soma dos algarismos de M. Para M=4052,
\text{soma dos algarismos} = 4+0+5+2=11.
Força aí — você destrinchou uma desigualdade que parecia complicada, e o caso de igualdade foi simples: x_i=\tfrac12 para todo i.

Resposta

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