Problema 02. (Olimpíada Chinesa de Matemática de 2011 - modificada) Dado que a_{n}= \binom{200}{n} \cdot 6^{\left(\frac{200-n}{4}\right)} \cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n} com 1 \leq n \leq 95 e n inteiro. Sabendo que N é a quantidade de inteiros na sequência \left\{a_{n}\right\}, então o valor de N é igual a:
a) 15
b) 16
c) 17
d) 18
e) 19

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n}= \binom{200}{n} \cdot 6^{\left(\frac{200-n}{4}\right)} \cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n},
com 1 \le n \le 95 e n inteiro. Pede-se N, a quantidade de valores inteiros entre os termos \{a_n\}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão de a_n em termos de \binom{200}{n}, potências de 6 e de \frac{1}{\sqrt{2}}.
  • O domínio de n: inteiros de 1 a 95.
  • Queremos contar para quantos desses n o valor de a_n é inteiro.

Passo 2

Primeiro transformar as potências em fatores primos (2 e 3) e combinar as potências de 2.
Escrevendo 6=2\cdot3 e \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n = 2^{-n/2}, obtemos:
a_n = \binom{200}{n}\cdot (2\cdot3)^{\frac{200-n}{4}}\cdot 2^{-n/2}.
Separando as potências de 2 e 3:
a_n = \binom{200}{n}\cdot 2^{\frac{200-n}{4}} \cdot 3^{\frac{200-n}{4}} \cdot 2^{-\frac{n}{2}}.
Somando os expoentes de 2:
a_n = \binom{200}{n}\cdot 2^{\frac{200-3n}{4}}\cdot 3^{\frac{200-n}{4}}.

Passo 3

Motivo porque precisamos que certos expoentes sejam inteiros: \
Se qualquer expoente de 2 ou 3 fosse fracionário (não inteiro), o fator correspondente seria uma raiz irracional (por exemplo uma raiz quarta de 2 ou 3), e multiplicar um inteiro \binom{200}{n} por uma irracional não pode resultar num inteiro. Portanto é necessário que ambos os expoentes
\frac{200-3n}{4}\quad\text{e}\quad\frac{200-n}{4}
sejam inteiros.
Analisando as congruências módulo 4:
\frac{200-n}{4}\in\mathbb{Z}\\ \Longrightarrow\\\ 200-n\equiv0\pmod{4}\\ \Longrightarrow\\ n\equiv0\pmod{4},
e
\frac{200-3n}{4}\in\mathbb{Z}\\ \Longrightarrow\\\ 200-3n\equiv0\pmod{4}\\ \Longrightarrow\\\ 3n\equiv0\pmod{4}.
Como \gcd(3,4)=1, a segunda congruência também implica n\equiv0\pmod{4}. Portanto condição necessária (e já suficiente para não obter expoentes fracionários) é:
n\equiv0\pmod{4}.

Passo 4

Contar os n múltiplos de 4 no intervalo 1\le n\le95. O maior múltiplo de 4 \le95 é 92. Logo há
\left\lfloor\frac{95}{4}\right\rfloor = 23
múltiplos de 4: n=4,8,12,\dots,92. Esses 23 valores tornam ambos expoentes inteiros. Agora precisamos verificar, para esses n, se a potência de 2 que aparece como 2^{\frac{200-3n}{4}} não exige uma divisão (expoente negativo) que a combinação com \binom{200}{n} não consiga compensar.

Passo 5

Analisar o sinal do expoente de 2:
e_2(n)=\frac{200-3n}{4}.
Se e_2(n)\ge0, então 2^{e_2(n)} é inteiro e, como \binom{200}{n} e 3^{\frac{200-n}{4}} são inteiros, teremos a_n inteiro. Se e_2(n)<0, então há um fator 2^{-k} com k=-e_2(n)>0 no produto; para que o produto seja inteiro, \binom{200}{n} precisa conter pelo menos 2^k em sua fatoração (i.e., a valuation v_2\big(\binom{200}{n}\big) deve ser \ge k).
Resolver e_2(n)\ge0:
\frac{200-3n}{4}\ge0 \Longrightarrow 200-3n\ge0 \Longrightarrow n\le\frac{200}{3}\approx 66{,}6.
Entre os múltiplos de 4, isto corresponde a n\le64. Os múltiplos 4,8,\dots,64 são 16 valores ( 4 até 64 = 4\cdot1 até 4\cdot16). Para esses 16 valores temos e_2(n)\ge0 e, portanto, a_n é inteiro automaticamente.

Passo 6

Restam os múltiplos de 4 com n\ge68, isto é
n\in\{68,72,76,80,84,88,92\},
sete casos a verificar. Para esses n o expoente de 2 é negativo; definimos o inteiro necessário
k(n) = -e_2(n) = \frac{3n-200}{4}
e exigimos
v_2\!\left(\binom{200}{n}\right)\ge k(n).
Usaremos a fórmula de Legendre para v_2(m!):
v_2(m!)=\left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{m}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{m}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{m}{16}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{m}{32}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{m}{64}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{m}{128}\right\rfloor+\cdots.
Então
v_2\!\left(\binom{200}{n}\right)=v_2(200!)-v_2(n!)-v_2((200-n)!).
Calculemos v_2(200!) uma vez por todas:
v_2(200!)=\left\lfloor\frac{200}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{200}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{200}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{200}{16}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{200}{32}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{200}{64}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{200}{128}\right\rfloor
=100+50+25+12+6+3+1=197.

Passo 7

Agora testar cada caso n\ge68.
  1. n=68.
    Calcule v_2(68!) e v_2(132!) ( 200-68=132):
v_2(68!)=34+17+8+4+2+1=66,
v_2(132!)=66+33+16+8+4+2+1=130.
Logo
v_2\!\left(\binom{200}{68}\right)=197-66-130=1.
E k(68)=\dfrac{3\cdot68-200}{4}=\dfrac{204-200}{4}=1. Assim a desigualdade é satisfeita (igualdade), logo a_{68} é inteiro.
  1. n=72.
    200-72=128.
v_2(72!)=36+18+9+4+2+1=70,
v_2(128!)=64+32+16+8+4+2+1=127.
v_2\!\left(\binom{200}{72}\right)=197-70-127=0.
Mas k(72)=\dfrac{216-200}{4}=4. Não há 2^4 em \binom{200}{72}, logo a_{72} não é inteiro.
  1. n=76.
    200-76=124.
v_2(76!)=38+19+9+4+2+1=73,
v_2(124!)=62+31+15+7+3+1=119.
v_2\!\left(\binom{200}{76}\right)=197-73-119=5.
Mas k(76)=\dfrac{228-200}{4}=7. Falta potência de 2, logo não inteiro.
  1. n=80.
    200-80=120.
v_2(80!)=40+20+10+5+2+1=78,
v_2(120!)=60+30+15+7+3+1=116.
v_2\!\left(\binom{200}{80}\right)=197-78-116=3.
Enquanto k(80)=10. Não atende.
  1. n=84.
    200-84=116.
v_2(84!)=42+21+10+5+2+1=81,
v_2(116!)=58+29+14+7+3+1=112.
v_2\!\left(\binom{200}{84}\right)=197-81-112=4.
k(84)=13. Não atende.
  1. n=88.
    200-88=112.
v_2(88!)=44+22+11+5+2+1=85,
v_2(112!)=56+28+14+7+3+1=109.
v_2\!\left(\binom{200}{88}\right)=197-85-109=3.
k(88)=16. Não atende.
  1. n=92.
    200-92=108.
v_2(92!)=46+23+11+5+2+1=88,
v_2(108!)=54+27+13+6+3+1=104.
v_2\!\left(\binom{200}{92}\right)=197-88-104=5.
k(92)=19. Não atende.
Conclusão destes testes: entre os sete casos com n\ge68 apenas n=68 satisfaz a condição.

Passo 8

Somando todos os n que dão a_n inteiro:
  • Os múltiplos de 4 com 4\le n\le64: 16 valores.
  • O único múltiplo de 4 com n\ge68 que funcionou foi n=68: 1 valor.
Total N=16+1=17.

Resposta

c) 17

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