Problema 02. (Olimpíada Chinesa de Matemática de 2011 - modificada) Dado que
com
e
inteiro. Sabendo que
é a quantidade de inteiros na sequência
, então o valor de
é igual a:
a) 15
b) 16
c) 17
d) 18
e) 19
a) 15
b) 16
c) 17
d) 18
e) 19
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
com
e
inteiro. Pede-se
, a quantidade de valores inteiros entre os termos
.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão de
em termos de , potências de e de . - O domínio de
: inteiros de a . - Queremos contar para quantos desses
o valor de é inteiro.
Passo 2
Primeiro transformar as potências em fatores primos (2 e 3) e combinar as potências de
.
Escrevendo
e
, obtemos:
Separando as potências de
e
:
Somando os expoentes de
:
Passo 3
Motivo porque precisamos que certos expoentes sejam inteiros: \
Se qualquer expoente de ou
fosse fracionário (não inteiro), o fator correspondente seria uma raiz irracional (por exemplo uma raiz quarta de
ou
), e multiplicar um inteiro
por uma irracional não pode resultar num inteiro. Portanto é necessário que ambos os expoentes
Se qualquer expoente de
sejam inteiros.
Analisando as congruências módulo
:
e
Como
, a segunda congruência também implica
. Portanto condição necessária (e já suficiente para não obter expoentes fracionários) é:
Passo 4
Contar os
múltiplos de
no intervalo
. O maior múltiplo de
é
. Logo há
múltiplos de
:
. Esses 23 valores tornam ambos expoentes inteiros. Agora precisamos verificar, para esses
, se a potência de
que aparece como
não exige uma divisão (expoente negativo) que a combinação com
não consiga compensar.
Passo 5
Analisar o sinal do expoente de
:
Se
, então
é inteiro e, como
e
são inteiros, teremos
inteiro. Se
, então há um fator
com
no produto; para que o produto seja inteiro,
precisa conter pelo menos
em sua fatoração (i.e., a valuation
deve ser
).
Resolver
:
Entre os múltiplos de
, isto corresponde a
. Os múltiplos
são
valores (
até
=
até
). Para esses
valores temos
e, portanto,
é inteiro automaticamente.
Passo 6
Restam os múltiplos de
com
, isto é
sete casos a verificar. Para esses
o expoente de
é negativo; definimos o inteiro necessário
e exigimos
Usaremos a fórmula de Legendre para
:
Então
Calculemos
uma vez por todas:
Passo 7
Agora testar cada caso
.
-
.
Calculee ( ):
Logo
E
. Assim a desigualdade é satisfeita (igualdade), logo
é inteiro.
-
.
.
Mas
. Não há
em
, logo
não é inteiro.
-
.
.
Mas
. Falta potência de
, logo não inteiro.
-
.
.
Enquanto
. Não atende.
-
.
.
-
.
.
-
.
.
Conclusão destes testes: entre os sete casos com
apenas
satisfaz a condição.
Passo 8
Somando todos os
que dão
inteiro:
- Os múltiplos de
com : valores. - O único múltiplo de
com que funcionou foi : valor.
Total
.
Resposta
c) 17