Problema 03. (Olimpíada Distrital do Cazaquistão de 2003 - modificada) Considere que o polinômio P(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c possui três raízes reais distintas e o polinômio Q(x)=x^{2}+x+2003. Sabendo que o polinômio P(Q(x)) não possui raízes reais e que o valor de P(2003)=t. O valor de t pode ser igual a:
a) \frac{1}{56}
b) \frac{1}{65}
c) \frac{1}{72}
d) \frac{1}{81}
e) \frac{1}{96}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • O polinômio P(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c tem três raízes reais distintas (chame-as de r_{1},r_{2},r_{3}).
  • O polinômio Q(x)=x^{2}+x+2003 é dado.
  • Sabe-se que o composto P(Q(x)) não possui raízes reais.
  • Foi dado que P(2003)=t.
  • Pergunta: qual dos valores abaixo pode ser igual a t?
    • (a) \dfrac{1}{56}
    • (b) \dfrac{1}{65}
    • (c) \dfrac{1}{72}
    • (d) \dfrac{1}{81}
    • (e) \dfrac{1}{96}
As informações relevantes que vou usar depois: P é cúbico com três raízes reais distintas; P(Q(x)) não tem raízes reais; t é o valor de P em 2003.

Passo 2

Entender o conjunto de valores que Q(x) assume para x\in\mathbb{R}.
  • Calculo o discriminante de Q(x)=x^{2}+x+2003: \Delta = 1-4\cdot1\cdot2003 = 1-8012 = -8011<0. Como \Delta<0, a parábola não corta o eixo x e tem um mínimo.
  • O vértice de Q ocorre em x=-\dfrac{1}{2}. O valor mínimo é Q\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(-\tfrac{1}{2}\right)+2003=\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}+2003=2003-\tfrac{1}{4}=\tfrac{8011}{4}.
  • Logo o conjunto imagem de Q sobre os reais é \big[\tfrac{8011}{4},\infty\big).

Passo 3

Traduzir a condição " P(Q(x)) não possui raízes reais" em informação sobre as raízes de P.
  • A equação P(Q(x))=0 acontece exatamente quando Q(x) é igual a alguma raiz de P. Ou seja, se r é raiz de P e existe x\in\mathbb{R} com Q(x)=r, então P(Q(x))=0.
  • Como P(Q(x)) não tem raízes reais, isso significa que nenhum dos r_{1},r_{2},r_{3} pertence à imagem de Q. Portanto r_{1},\,r_{2},\,r_{3} < \tfrac{8011}{4}.(São estritamente menores, porque se algum fosse igual a \tfrac{8011}{4} então Q(-\tfrac{1}{2}) seria uma raiz e P(Q(x)) teria raiz real.)
  • Agora escrevo t=P(2003) em termos das raízes de P. Como P é moníco (coeficiente líder 1), vale P(x)=(x-r_{1})(x-r_{2})(x-r_{3}).Assim t=P(2003)=(2003-r_{1})(2003-r_{2})(2003-r_{3}).

Passo 4

Encontrar um limite inferior para t usando a informação das raízes.
  • Sabendo que cada r_{i} < \tfrac{8011}{4}, temos 2003-r_{i} > 2003-\tfrac{8011}{4} = \tfrac{1}{4}.
  • Portanto cada fator 2003-r_{i} é estritamente maior que \tfrac{1}{4}. Multiplicando as três desigualdades, t=(2003-r_{1})(2003-r_{2})(2003-r_{3}) > \left(\tfrac{1}{4}\right)^{3}=\tfrac{1}{64}.
  • Conclusão importante: qualquer valor possível de t deve satisfazer t>\tfrac{1}{64}.

Passo 5

Comparar as alternativas com a desigualdade t>\tfrac{1}{64}.
  • Observação: \tfrac{1}{64}\approx 0{,}015625.
  • Calculo comparativo (sem usar calculadora, basta comparar denominadores): para frações positivas com numerador 1, quanto menor o denominador, maior a fração. Assim \frac{1}{56}>\frac{1}{64} \quad\text{(porque }56<64\text{)},enquanto \frac{1}{65}<\frac{1}{64},\quad \frac{1}{72}<\frac{1}{64},\quad \frac{1}{81}<\frac{1}{64},\quad \frac{1}{96}<\frac{1}{64}.
  • Logo, entre as alternativas, apenas \dfrac{1}{56} satisfaz a condição necessária t>\dfrac{1}{64}.

Passo 6

Verificar que \dfrac{1}{56} é realmente possível (existência), i.e., não é apenas não-contraditório com a desigualdade, mas pode ser obtido por algum polinômio P cujas raízes verificam a condição.
  • Ideia: o conjunto de valores possíveis de F(r_{1},r_{2},r_{3})=(2003-r_{1})(2003-r_{2})(2003-r_{3})para (r_{1},r_{2},r_{3}) com cada r_{i}<\tfrac{8011}{4} é um intervalo aberto da forma \big(\tfrac{1}{64},\infty\big).
    • O infimum é \tfrac{1}{64} quando os três r_{i} tendem para \tfrac{8011}{4} pela esquerda (produto tende a (\tfrac{1}{4})^{3}), mas esse valor não é alcançado porque as raízes devem ser estritamente menores que \tfrac{8011}{4}.
    • Pode-se tornar F arbitrariamente grande levando, por exemplo, um dos r_{i} a -\infty, o que torna um fator (2003-r_{i}) arbitrariamente grande.
    • A função F é contínua nos r_{i}, logo assume todo valor em \big(\tfrac{1}{64},\infty\big).
  • Em particular, existe um triplo (r_{1},r_{2},r_{3}) com todos r_{i}<\tfrac{8011}{4} tal que F(r_{1},r_{2},r_{3})=\dfrac{1}{56}. Se esse triplo tiver raízes repetidas, basta perturbar levemente (continuidade) para obter três raízes distintas mantendo o produto igual ao valor desejado; assim existe um polinômio cúbico moníco com três raízes reais distintas que produz t=\dfrac{1}{56}.
  • Portanto \dfrac{1}{56} não só não contradiz a condição, como é efetivamente atingível.

Resposta

\dfrac{1}{56}

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