Problema 03. (Olimpíada Distrital do Cazaquistão de 2003 - modificada) Considere que o polinômio
possui três raízes reais distintas e o polinômio
. Sabendo que o polinômio
não possui raízes reais e que o valor de
. O valor de
pode ser igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- O polinômio
tem três raízes reais distintas (chame-as de ). - O polinômio
é dado. - Sabe-se que o composto
não possui raízes reais. - Foi dado que
. - Pergunta: qual dos valores abaixo pode ser igual a
? - (a)
- (b)
- (c)
- (d)
- (e)
- (a)
As informações relevantes que vou usar depois:
é cúbico com três raízes reais distintas;
não tem raízes reais;
é o valor de
em
.
Passo 2
Entender o conjunto de valores que
assume para
.
- Calculo o discriminante de
: . Como , a parábola não corta o eixo e tem um mínimo. - O vértice de
ocorre em . O valor mínimo é - Logo o conjunto imagem de
sobre os reais é .
Passo 3
Traduzir a condição "
não possui raízes reais" em informação sobre as raízes de
.
- A equação
acontece exatamente quando é igual a alguma raiz de . Ou seja, se é raiz de e existe com , então . - Como
não tem raízes reais, isso significa que nenhum dos pertence à imagem de . Portanto (São estritamente menores, porque se algum fosse igual a então seria uma raiz e teria raiz real.) - Agora escrevo
em termos das raízes de . Como é moníco (coeficiente líder ), vale Assim
Passo 4
Encontrar um limite inferior para
usando a informação das raízes.
- Sabendo que cada
, temos - Portanto cada fator
é estritamente maior que . Multiplicando as três desigualdades, - Conclusão importante: qualquer valor possível de
deve satisfazer .
Passo 5
Comparar as alternativas com a desigualdade
.
- Observação:
. - Calculo comparativo (sem usar calculadora, basta comparar denominadores): para frações positivas com numerador
, quanto menor o denominador, maior a fração. Assim enquanto - Logo, entre as alternativas, apenas
satisfaz a condição necessária .
Passo 6
Verificar que
é realmente possível (existência), i.e., não é apenas não-contraditório com a desigualdade, mas pode ser obtido por algum polinômio
cujas raízes verificam a condição.
- Ideia: o conjunto de valores possíveis de
para com cada é um intervalo aberto da forma . - O infimum é
quando os três tendem para pela esquerda (produto tende a ), mas esse valor não é alcançado porque as raízes devem ser estritamente menores que . - Pode-se tornar
arbitrariamente grande levando, por exemplo, um dos a , o que torna um fator arbitrariamente grande. - A função
é contínua nos , logo assume todo valor em .
- O infimum é
- Em particular, existe um triplo
com todos tal que . Se esse triplo tiver raízes repetidas, basta perturbar levemente (continuidade) para obter três raízes distintas mantendo o produto igual ao valor desejado; assim existe um polinômio cúbico moníco com três raízes reais distintas que produz . - Portanto
não só não contradiz a condição, como é efetivamente atingível.