Problema 04.(Torneio de matemática de Berkeley outono de 2020) Considere que
e que o valor da expressão
possa ser escrito da forma
, onde m e
são números inteiros positivos relativamente primos entre si. O valor de
vale:
a) 326
b) 327
c) 328
d) 329
e) 330
a) 326
b) 327
c) 328
d) 329
e) 330
Passo 1
O enunciado pede o valor de
(reparei que o índice inferior é
e o superior é
). As informações relevantes dadas são:
- A definição
. - A soma que devemos calcular é
O objetivo final é escrever o valor da soma na forma
com
e então encontrar
.
Passo 2
Primeiro vou simplificar a expressão geral do termo da soma usando a definição de binomial. Lembre que
Substituindo na fração do somando:
Passo 3
Agora faço as simplificações algébricas passo a passo. O denominador do quociente é
Portanto
Cancelando fatores
sobra
Então a soma fica
Passo 4
Para somar termos racionais com fator polinomial no denominador, uma boa estratégia é decompor cada termo em frações parciais que telescopem. Vou escrever
onde
são constantes a determinar.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Uma maneira rápida de achar
é avaliar essa igualdade em valores de
que zere cada fator:
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
Passo 6
Assim a decomposição ficou
Isso já é ótimo porque, ao somar em
consecutivos, muitos termos vão se cancelar (telescopar).
Passo 7
Agora somo para
até
:
Faço uma reindexação para reunir termos do tipo
. Cada parcela contribui em intervalos:
-
gera para . -
gera para . -
gera para . -
gera para .
Somando coeficientes para cada
obtemos:
-
coeficiente . -
coeficiente . -
coeficiente . -
coeficiente . -
coeficiente . -
coeficiente . -
coeficiente .
Portanto a soma reduz-se a
Passo 8
Agora calculo essa soma com frações:
Passo a passo:
Portanto a soma vale
. Note que
, então já está na forma reduzida.
Resposta
329