Problema 04.(Torneio de matemática de Berkeley outono de 2020) Considere que \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} e que o valor da expressão \sum_{n-3}^{10}\left[\frac{\binom{n}{2}}{\binom{n}{3}\binom{n+1}{3}}\right] possa ser escrito da forma \mathrm{m} / \mathrm{n}, onde m e n são números inteiros positivos relativamente primos entre si. O valor de m+n vale:
a) 326
b) 327
c) 328
d) 329
e) 330

Passo 1

O enunciado pede o valor de \sum_{n=3}^{10}\left[\dfrac{\binom{n}{2}}{\binom{n}{3}\binom{n+1}{3}}\right] (reparei que o índice inferior é 3 e o superior é 10). As informações relevantes dadas são:
  • A definição \displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
  • A soma que devemos calcular é
\sum_{n=3}^{10}\frac{\binom{n}{2}}{\binom{n}{3}\binom{n+1}{3}}.
O objetivo final é escrever o valor da soma na forma \mathrm{m}/\mathrm{n} com \gcd(\mathrm{m},\mathrm{n})=1 e então encontrar \mathrm{m}+\mathrm{n}.

Passo 2

Primeiro vou simplificar a expressão geral do termo da soma usando a definição de binomial. Lembre que
\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2},\qquad \binom{n}{3}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6},\qquad \binom{n+1}{3}=\frac{(n+1)n(n-1)}{6}.
Substituindo na fração do somando:
\frac{\binom{n}{2}}{\binom{n}{3}\binom{n+1}{3}} = \frac{\dfrac{n(n-1)}{2}}{\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}\cdot\dfrac{(n+1)n(n-1)}{6}}.

Passo 3

Agora faço as simplificações algébricas passo a passo. O denominador do quociente é
\frac{n(n-1)(n-2)}{6}\cdot\frac{(n+1)n(n-1)}{6} =\frac{n^2(n-1)^2(n-2)(n+1)}{36}.
Portanto
\frac{\binom{n}{2}}{\binom{n}{3}\binom{n+1}{3}} = \frac{n(n-1)/2}{\,n^2(n-1)^2(n-2)(n+1)/36\,} = \frac{36}{2}\cdot\frac{n(n-1)}{n^2(n-1)^2(n-2)(n+1)}.
Cancelando fatores n(n-1) sobra
\frac{\binom{n}{2}}{\binom{n}{3}\binom{n+1}{3}}=\frac{18}{n(n-1)(n-2)(n+1)}.
Então a soma fica
\sum_{n=3}^{10}\frac{18}{n(n-1)(n-2)(n+1)}.

Passo 4

Para somar termos racionais com fator polinomial no denominador, uma boa estratégia é decompor cada termo em frações parciais que telescopem. Vou escrever
\frac{18}{n(n-1)(n-2)(n+1)}=\frac{A}{n-2}+\frac{B}{n-1}+\frac{C}{n}+\frac{D}{n+1},
onde A,B,C,D são constantes a determinar.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por n(n-1)(n-2)(n+1) obtemos a identidade polinomial
18 = A\cdot n(n-1)(n+1) + B\cdot n(n-2)(n+1) + C\cdot (n-1)(n-2)(n+1) + D\cdot n(n-1)(n-2).
Uma maneira rápida de achar A,B,C,D é avaliar essa igualdade em valores de n que zere cada fator:
  • Para n=2: 18 = A\cdot 2\cdot1\cdot3 = 6A \Rightarrow A=3.
  • Para n=1: 18 = B\cdot 1\cdot(-1)\cdot2 = -2B \Rightarrow B=-9.
  • Para n=0: 18 = C\cdot (-1)\cdot(-2)\cdot1 = 2C \Rightarrow C=9.
  • Para n=-1: 18 = D\cdot(-1)\cdot(-2)\cdot(-3) = -6D \Rightarrow D=-3.

Passo 6

Assim a decomposição ficou
\frac{18}{n(n-1)(n-2)(n+1)}=\frac{3}{n-2}-\frac{9}{n-1}+\frac{9}{n}-\frac{3}{n+1}.
Isso já é ótimo porque, ao somar em n consecutivos, muitos termos vão se cancelar (telescopar).

Passo 7

Agora somo para n=3 até n=10:
S=\sum_{n=3}^{10}\left(\frac{3}{n-2}-\frac{9}{n-1}+\frac{9}{n}-\frac{3}{n+1}\right).
Faço uma reindexação para reunir termos do tipo 1/k. Cada parcela contribui em intervalos:
  • \dfrac{3}{n-2} gera \dfrac{3}{k} para k=1,2,\dots,8.
  • -\dfrac{9}{n-1} gera -\dfrac{9}{k} para k=2,3,\dots,9.
  • \dfrac{9}{n} gera \dfrac{9}{k} para k=3,4,\dots,10.
  • -\dfrac{3}{n+1} gera -\dfrac{3}{k} para k=4,5,\dots,11.
Somando coeficientes para cada 1/k obtemos:
  • k=1: coeficiente 3.
  • k=2: coeficiente 3-9=-6.
  • k=3: coeficiente 3-9+9=3.
  • k=4,5,6,7,8: coeficiente 3-9+9-3=0.
  • k=9: coeficiente -9+9-3=-3.
  • k=10: coeficiente 9-3=6.
  • k=11: coeficiente -3.
Portanto a soma reduz-se a
S=3\cdot\frac{1}{1}-6\cdot\frac{1}{2}+3\cdot\frac{1}{3}-3\cdot\frac{1}{9}+6\cdot\frac{1}{10}-3\cdot\frac{1}{11}.

Passo 8

Agora calculo essa soma com frações:
3-6\cdot\frac{1}{2}+3\cdot\frac{1}{3}-3\cdot\frac{1}{9}+6\cdot\frac{1}{10}-3\cdot\frac{1}{11}.
Passo a passo:
3-6\cdot\frac{1}{2}=3-3=0,
0+3\cdot\frac{1}{3}=1,
1-3\cdot\frac{1}{9}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3},
\frac{2}{3}+6\cdot\frac{1}{10}=\frac{2}{3}+\frac{3}{5}=\frac{10+9}{15}=\frac{19}{15},
\frac{19}{15}-3\cdot\frac{1}{11}=\frac{19}{15}-\frac{3}{11}=\frac{19\cdot11-3\cdot15}{165}=\frac{209-45}{165}=\frac{164}{165}.
Portanto a soma vale \dfrac{164}{165}. Note que \gcd(164,165)=1, então já está na forma reduzida.

Resposta

329

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