Problema 03. (torneio de matemática de Harvard - MIT - adaptada) Sabendo que o valor de x com (x<3) na equação \sqrt{(3-x)(4-x)}+\sqrt{(4-x)(6-x)}+\sqrt{(6-x)(3-x)}=x possa ser escrito da forma \left(\frac{m}{n}\right) com m e n números inteiros positivos primos entre si, então o valor de (m+n) é igual a:
a) 31
b) 32
c) 33
d) 34
e)35

Passo 1

O enunciado dá a equação
\sqrt{(3-x)(4-x)}+\sqrt{(4-x)(6-x)}+\sqrt{(6-x)(3-x)}=x
com a condição x<3. Pede-se encontrar x que pode ser escrito na forma \left(\dfrac{m}{n}\right) com m,n inteiros positivos primos entre si, e então calcular m+n.
Informações relevantes:
  • A incógnita é x e temos a restrição x<3.
  • Os radicandos (3-x),(4-x),(6-x) são todos positivos nessa faixa, logo as raízes quadradas estão bem definidas e são positivas.
  • A soma das três raízes de produtos é igual a x.
  • Precisamos achar x racional e, a partir dele, m+n.

Passo 2

Uma observação útil (identidade quadrática) é que, para quaisquer números positivos A,B,C,
\big(\sqrt{A}+\sqrt{B}+\sqrt{C}\big)^{2}=A+B+C+2\big(\sqrt{AB}+\sqrt{BC}+\sqrt{CA}\big).
Aqui podemos tomar A=3-x, B=4-x, C=6-x. Definindo
S=\sqrt{3-x}+\sqrt{4-x}+\sqrt{6-x},
aplicando a identidade obtemos
S^{2}=(3-x)+(4-x)+(6-x)+2\big(\sqrt{(3-x)(4-x)}+\sqrt{(4-x)(6-x)}+\sqrt{(6-x)(3-x)}\big).
Como a soma das três raízes de produtos na equação original é exatamente x, substituímos e obtemos
S^{2}=13-3x+2x=13-x.
Portanto
S^{2}=13-x \quad\Rightarrow\quad x=13-S^{2}.
(Isto é apenas uma relação equivalente ao enunciado e mostra uma conexão útil entre S e x.)

Passo 3

Antes de tentar resolver explicitamente, observe a monotonicidade: para x<3 cada função \sqrt{(a-x)(b-x)} é decrescente em x (porque o argumento diminui), logo o lado esquerdo da equação é decrescente em x. O lado direito x é crescente em x. Assim a diferença (lado esquerdo menos lado direito) é estritamente decrescente, e portanto a equação pode ter no máximo uma solução em (-\infty,3). Conclusão útil: se acharmos uma solução em (-\infty,3), ela será a única.

Passo 4

Vamos simplificar com a substituição
a=3-x,
que implica a>0 e a<3. Em termos de a temos
4-x=a+1,\qquad 6-x=a+3,
e a equação fica
\sqrt{a(a+1)}+\sqrt{(a+1)(a+3)}+\sqrt{a(a+3)}=3-a.
Uma estratégia prática é procurar valores de a para os quais os três produtos a(a+1),\; (a+1)(a+3),\; a(a+3) sejam quadrados racionais (assim cada raiz é racional), porque então a soma será racional e podemos igualar a 3-a racionalmente. Procuramos portanto um a racional tal que os três números a,\; a+1,\; a+3 sejam proporcionais a quadrados inteiros (mesma razão de escala), isto é, exista um t>0 e inteiros positivos p,q,r tais que
a=t p^{2},\qquad a+1=t q^{2},\qquad a+3=t r^{2}.

Passo 5

Das duas últimas igualdades seguem
t(q^{2}-p^{2})=1,\qquad t(r^{2}-p^{2})=3.
Dividindo a segunda pela primeira obtemos
\frac{r^{2}-p^{2}}{q^{2}-p^{2}}=3,
ou seja
r^{2}-p^{2}=3(q^{2}-p^{2}).
Procuramos inteiros positivos p,q,r que satisfaçam isso. Experimente o menor possível p=1 (também é razoável verificar pequenos p primeiro). Com p=1 a relação fica
r^{2}=3q^{2}-2.
Testando q=2 obtemos r^{2}=10 (não quadrado). Para q=3 temos
r^{2}=3\cdot 9-2=27-2=25,
logo r=5. Isso funciona. Agora determinamos t a partir de t(q^{2}-p^{2})=1:
t=\frac{1}{q^{2}-p^{2}}=\frac{1}{9-1}=\frac{1}{8}.
Então
a=t p^{2}=\frac{1}{8}\cdot 1^{2}=\frac{1}{8}.
Voltando para x (lembre que a=3-x) obtemos
x=3-a=3-\frac{1}{8}=\frac{24-1}{8}=\frac{23}{8}.

Passo 6

Vamos verificar que esse x resolve a equação: para x=\dfrac{23}{8} temos
3-x=\frac{1}{8},\quad 4-x=\frac{9}{8},\quad 6-x=\frac{25}{8}.
Os produtos são
(3-x)(4-x)=\frac{1}{8}\cdot\frac{9}{8}=\frac{9}{64}=\left(\frac{3}{8}\right)^{2},
(4-x)(6-x)=\frac{9}{8}\cdot\frac{25}{8}=\frac{225}{64}=\left(\frac{15}{8}\right)^{2},
(6-x)(3-x)=\frac{25}{8}\cdot\frac{1}{8}=\frac{25}{64}=\left(\frac{5}{8}\right)^{2}.
Portanto as raízes são \dfrac{3}{8},\dfrac{15}{8},\dfrac{5}{8} e sua soma é
\frac{3}{8}+\frac{15}{8}+\frac{5}{8}=\frac{23}{8}=x,
ou seja, a equação é satisfeita. Pela unicidade discutida no Passo 3, esta é a única solução com x<3.

Passo 7

Temos x=\dfrac{m}{n}=\dfrac{23}{8} com m=23 e n=8 primos entre si. Portanto
m+n=23+8=31.

Resposta

31

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