Problema 03. (torneio de matemática de Harvard - MIT - adaptada) Sabendo que o valor de
com
na equação
possa ser escrito da forma
com m e n números inteiros positivos primos entre si, então o valor de
é igual a:
a) 31
b) 32
c) 33
d) 34
e)35
a) 31
b) 32
c) 33
d) 34
e)35
Passo 1
O enunciado dá a equação
com a condição
. Pede-se encontrar
que pode ser escrito na forma
com
inteiros positivos primos entre si, e então calcular
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A incógnita é
e temos a restrição . - Os radicandos
são todos positivos nessa faixa, logo as raízes quadradas estão bem definidas e são positivas. - A soma das três raízes de produtos é igual a
. - Precisamos achar
racional e, a partir dele, .
Passo 2
Uma observação útil (identidade quadrática) é que, para quaisquer números positivos
,
Aqui podemos tomar
,
,
. Definindo
aplicando a identidade obtemos
Como a soma das três raízes de produtos na equação original é exatamente
, substituímos e obtemos
Portanto
(Isto é apenas uma relação equivalente ao enunciado e mostra uma conexão útil entre
e
.)
Passo 3
Antes de tentar resolver explicitamente, observe a monotonicidade: para
cada função
é decrescente em
(porque o argumento diminui), logo o lado esquerdo da equação é decrescente em
. O lado direito
é crescente em
. Assim a diferença (lado esquerdo menos lado direito) é estritamente decrescente, e portanto a equação pode ter no máximo uma solução em
. Conclusão útil: se acharmos uma solução em
, ela será a única.
Passo 4
Vamos simplificar com a substituição
que implica
e
. Em termos de
temos
e a equação fica
Uma estratégia prática é procurar valores de
para os quais os três produtos
sejam quadrados racionais (assim cada raiz é racional), porque então a soma será racional e podemos igualar a
racionalmente. Procuramos portanto um
racional tal que os três números
sejam proporcionais a quadrados inteiros (mesma razão de escala), isto é, exista um
e inteiros positivos
tais que
Passo 5
Das duas últimas igualdades seguem
Dividindo a segunda pela primeira obtemos
ou seja
Procuramos inteiros positivos
que satisfaçam isso. Experimente o menor possível
(também é razoável verificar pequenos
primeiro). Com
a relação fica
Testando
obtemos
(não quadrado). Para
temos
logo
. Isso funciona. Agora determinamos
a partir de
:
Então
Voltando para
(lembre que
) obtemos
Passo 6
Vamos verificar que esse
resolve a equação: para
temos
Os produtos são
Portanto as raízes são
e sua soma é
ou seja, a equação é satisfeita. Pela unicidade discutida no Passo 3, esta é a única solução com
.
Passo 7
Temos
com
e
primos entre si. Portanto
Resposta
31