Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada exercício, suponha que a curva C seja orientada no sentido anti-horário. (Ex 3 a 13)
ointC ln (1+y) cdot d x-x cdot y1+y cdot d y
Onde C é o triângulo de vértices (0,0),(2,0) e(0,4).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
ointC ln(1+y),dx ;-; x,y1+y,dy
sobre a curva C que é o triângulo de vértices (0,0), (2,0) e (0,4), orientado no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que diz
ointCP,dx+Q,dy ;=;integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA,
onde D é a região interna a C.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=ln(1+y), Q(x,y)=-x,y1+y
Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x =-partial partial xl(x,y1+yr) =-y1+y, partial Ppartial y =11+y
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partial Qpartial x-partial Ppartial y =-y1+y-11+y =-y+11+y =-1

Passo 3

Pelo Teorema de Green,
ointCP,dx+Q,dy =integral duplaD(-1),dA =-integral duplaD1,dA =-Área(D) Á
Agora descrevemos D: é o triângulo com vértices (0,0), (2,0) e (0,4). A reta que une (2,0) a (0,4) tem equação y=-2x+4. Assim, em coordenadas cartesianas:
0<= x<=2, 0<= y<= -2x+4

Passo 4

A área de D é a área de um triângulo de base 2 (no eixo x) e altura 4 (no eixo y):
Área(D)=12times2times4=4 Á
Portanto,
ointC ln(1+y),dx - x,y1+y,dy =-Área(D) =-4 Á

Resposta

-4

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