Problema 06. (Olimpíada Nacional da Malásia de 2023 - modificada) Seja
. Então o valor de
é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado fornece a soma
e pede o valor de
. São dadas cinco alternativas; a tarefa é encontrar o valor exato de
e identificar qual alternativa corresponde.
Informações relevantes que temos:
- A soma é finita, com
variando de até . - Cada termo tem a forma
. - Queremos o valor absoluto
.
Passo 2
Ideia útil (sem ainda resolver): somas com termos que envolvem fatoriais muitas vezes telescopam se cada termo for reescrito como combinação de recíprocos de fatoriais com deslocamentos de índice (por exemplo
,
,
). Vou mostrar algumas identidades elementares sobre fatoriais que usarei e explicar porque elas são verdadeiras.
Fatos básicos sobre fatoriais e recíprocos:
- Por definição, para inteiro
vale . - A diferença
simplifica assim:
Portanto
- Outro truque: multiplicar essa última identidade por
dá
Mas
(pois
para
). Logo
Essas transformações permitem decompor
em termos do tipo
, o que favorece cancelamentos entre termos consecutivos da soma (telecospagem).
Passo 3
Agora decomponho explicitamente cada termo. Começo escrevendo
Usando as identidades do passo anterior:
- Substituo
.
Então
- Agrupando os termos com
:
- Agora uso
. Substituindo:
- Somando com o último termo
obtém-se .
Portanto a decomposição final (muito útil) é
Verificação rápida com
: lado esquerdo
. Lado direito
. OK.
Passo 4
Agora somo essa expressão para
até
. Escrevo
Separe as três somas:
Agora faço mudança de índices para ver claramente os cancelamentos:
Agora somo termo a termo observando os coeficientes de
para cada
.
- Para
: aparece só no primeiro somatório com coeficiente , então contribuição . - Para
: aparece no primeiro com e no segundo com , terceira soma não tem . Coeficiente total , contribuição . - Para
: aparece nos três somatórios com coeficientes , e , que somam zero — esses termos se cancelam totalmente. - Para
: aparece apenas no segundo somatório (com ) e na terceira somatória (com ), porque o primeiro vai só até . Logo coeficiente total , contribuição . - Para
: aparece apenas na terceira soma com coeficiente , contribuição .
Somando as contribuições restantes:
Como
e
, os dois primeiros termos se cancelam:
. Então sobra
Passo 5
Simplifico
. Com denominar comum
:
Portanto
O valor absoluto é
Resposta
(a)