Problema 06. (Olimpíada Nacional da Malásia de 2023 - modificada) Seja S=\sum_{k=1}^{2023}\left(\frac{k^{2}-k-1}{(k+1)!}\right). Então o valor de |S| é igual a:
a) \frac{2023}{2024!}
b) \frac{2023}{2023!}
c) \frac{2024}{2024!}
d) \frac{2022}{2023!}
e) \frac{2022}{2022!}

Passo 1

O enunciado fornece a soma
S=\sum_{k=1}^{2023}\left(\frac{k^{2}-k-1}{(k+1)!}\right)
e pede o valor de |S|. São dadas cinco alternativas; a tarefa é encontrar o valor exato de |S| e identificar qual alternativa corresponde.
Informações relevantes que temos:
  • A soma é finita, com k variando de 1 até 2023.
  • Cada termo tem a forma \dfrac{k^{2}-k-1}{(k+1)!}.
  • Queremos o valor absoluto |S|.

Passo 2

Ideia útil (sem ainda resolver): somas com termos que envolvem fatoriais muitas vezes telescopam se cada termo for reescrito como combinação de recíprocos de fatoriais com deslocamentos de índice (por exemplo \dfrac{1}{(k-1)!}, \dfrac{1}{k!}, \dfrac{1}{(k+1)!}). Vou mostrar algumas identidades elementares sobre fatoriais que usarei e explicar porque elas são verdadeiras.
Fatos básicos sobre fatoriais e recíprocos:
  • Por definição, para inteiro k\ge1 vale (k+1)!=(k+1)k!.
  • A diferença \dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{(k+1)!} simplifica assim:
\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}=\frac{(k+1)-1}{(k+1)!}=\frac{k}{(k+1)!}.
Portanto
\frac{k}{(k+1)!}=\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}.
  • Outro truque: multiplicar essa última identidade por k
\frac{k^2}{(k+1)!}= \frac{k}{k!}-\frac{k}{(k+1)!}.
Mas \dfrac{k}{k!}=\dfrac{1}{(k-1)!} (pois k/k!=1/(k-1)! para k\ge1). Logo
\frac{k^2}{(k+1)!}=\frac{1}{(k-1)!}-\frac{k}{(k+1)!}.
Essas transformações permitem decompor \dfrac{k^{2}-k-1}{(k+1)!} em termos do tipo \dfrac{1}{(k-1)!},\dfrac{1}{k!},\dfrac{1}{(k+1)!}, o que favorece cancelamentos entre termos consecutivos da soma (telecospagem).

Passo 3

Agora decomponho explicitamente cada termo. Começo escrevendo
\frac{k^{2}-k-1}{(k+1)!}=\frac{k^{2}}{(k+1)!}-\frac{k}{(k+1)!}-\frac{1}{(k+1)!}.
Usando as identidades do passo anterior:
  • Substituo \dfrac{k^{2}}{(k+1)!}=\dfrac{1}{(k-1)!}-\dfrac{k}{(k+1)!}.
    Então
\frac{k^{2}-k-1}{(k+1)!}=\left(\frac{1}{(k-1)!}-\frac{k}{(k+1)!}\right)-\frac{k}{(k+1)!}-\frac{1}{(k+1)!}.
  • Agrupando os termos com \dfrac{k}{(k+1)!}:
\frac{k^{2}-k-1}{(k+1)!}=\frac{1}{(k-1)!}-2\cdot\frac{k}{(k+1)!}-\frac{1}{(k+1)!}.
  • Agora uso \dfrac{k}{(k+1)!}=\dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{(k+1)!}. Substituindo:
-2\cdot\frac{k}{(k+1)!}=-2\left(\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}\right)=-\frac{2}{k!}+\frac{2}{(k+1)!}.
  • Somando com o último termo -\dfrac{1}{(k+1)!} obtém-se \dfrac{2}{(k+1)!}-\dfrac{1}{(k+1)!}=\dfrac{1}{(k+1)!}.
Portanto a decomposição final (muito útil) é
\frac{k^{2}-k-1}{(k+1)!}=\frac{1}{(k-1)!}-\frac{2}{k!}+\frac{1}{(k+1)!}.
Verificação rápida com k=1: lado esquerdo \dfrac{-1}{2!}=-\tfrac{1}{2}. Lado direito 1-2+\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{2}. OK.

Passo 4

Agora somo essa expressão para k=1 até k=2023. Escrevo
S=\sum_{k=1}^{2023}\left(\frac{1}{(k-1)!}-\frac{2}{k!}+\frac{1}{(k+1)!}\right).
Separe as três somas:
S=\sum_{k=1}^{2023}\frac{1}{(k-1)!}-2\sum_{k=1}^{2023}\frac{1}{k!}+\sum_{k=1}^{2023}\frac{1}{(k+1)!}.
Agora faço mudança de índices para ver claramente os cancelamentos:
  • \displaystyle \sum_{k=1}^{2023}\frac{1}{(k-1)!}=\sum_{j=0}^{2022}\frac{1}{j!}.
  • \displaystyle \sum_{k=1}^{2023}\frac{1}{k!}=\sum_{j=1}^{2023}\frac{1}{j!}.
  • \displaystyle \sum_{k=1}^{2023}\frac{1}{(k+1)!}=\sum_{j=2}^{2024}\frac{1}{j!}.
Agora somo termo a termo observando os coeficientes de 1/j! para cada j.
  • Para j=0: aparece só no primeiro somatório com coeficiente +1, então contribuição +\dfrac{1}{0!}.
  • Para j=1: aparece no primeiro com +1 e no segundo com -2, terceira soma não tem j=1. Coeficiente total 1-2=-1, contribuição -\dfrac{1}{1!}.
  • Para 2\le j\le 2022: aparece nos três somatórios com coeficientes +1, -2 e +1, que somam zero — esses termos se cancelam totalmente.
  • Para j=2023: aparece apenas no segundo somatório (com -2) e na terceira somatória (com +1), porque o primeiro vai só até j=2022. Logo coeficiente total -2+1=-1, contribuição -\dfrac{1}{2023!}.
  • Para j=2024: aparece apenas na terceira soma com coeficiente +1, contribuição +\dfrac{1}{2024!}.
Somando as contribuições restantes:
S=\frac{1}{0!}-\frac{1}{1!}-\frac{1}{2023!}+\frac{1}{2024!}.
Como 1/0!=1 e 1/1!=1, os dois primeiros termos se cancelam: 1-1=0. Então sobra
S=-\frac{1}{2023!}+\frac{1}{2024!}.

Passo 5

Simplifico S. Com denominar comum (2024)!:
-\frac{1}{2023!}+\frac{1}{2024!}=-\frac{2024}{2024!}+\frac{1}{2024!}=-\frac{2023}{2024!}.
Portanto
S=-\frac{2023}{2024!}.
O valor absoluto é
|S|=\frac{2023}{2024!}.

Resposta

(a) \frac{2023}{2024!}

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