Problema 07. (Olimpíada Nacional da Grécia de 2013 - modificada) Seja a sequência de números reais
para
. Com
e
para
. Sabendo que o valor de
pode ser escrito da forma
.
com I, M e E números inteiros positivos. Então o valor de
é igual a:
a) 4010
b) 4016
c) 4020
d) 4024
e)4028
a) 4010
b) 4016
c) 4020
d) 4024
e)4028
Passo 1
Vamos listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Foi dada uma sequência
com . - Para
vale a relação
- Definir
será útil (já que o lado direito usa a soma até ). - O enunciado afirma que
pode ser escrito da forma com inteiros positivos, e pede o valor de .
O objetivo: encontrar
em forma fechada, identificar
conforme a escrita pedida e então calcular
.
Passo 2
Introduzir a soma parcial
e achar uma recorrência para
.
Defina
. Para
temos, usando a definição,
Somando
a
obtém-se
:
Fatorando
,
Também sabemos
. Logo, para
,
Passo 3
Resolver a recorrência por produto telescópico.
A relação do passo anterior dá, iterando desde
até
,
Substituindo
,
Separe o fator
de cada fração:
Agora a parte
telescopa. Escrevendo o produto explicitamente:
Portanto
Passo 4
Achar
a partir de
.
Como
, usando a fórmula para
temos
Colocando fator comum
,
Assim obtivemos a forma fechada
Passo 5
Aplicar a fórmula para
e identificar
.
Substituindo
na fórmula encontrada,
Essa expressão já está na forma
tomando
,
e
. (Observação: existem outras decomposições possíveis, por exemplo
, mas a forma direta da expressão
leva naturalmente a
.)
Passo 6
Calcular
.
Com
,
e
,
Resposta
4028