Problema 07. (Olimpíada Nacional da Grécia de 2013 - modificada) Seja a sequência de números reais a_{n} para n=1,2,3, \ldots. Com a_{1}=2 e a_{n}=\left(\frac{n+1}{n-1}\right)\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n-1}\right) para n \geq 2. Sabendo que o valor de a_{2013} pode ser escrito da forma I. (M)^{E} com I, M e E números inteiros positivos. Então o valor de (I+M+E) é igual a:
a) 4010
b) 4016
c) 4020
d) 4024
e)4028

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Foi dada uma sequência (a_n)_{n\ge 1} com a_{1}=2.
  • Para n\ge 2 vale a relação
a_{n}=\left(\frac{n+1}{n-1}\right)\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n-1}\right).
  • Definir S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n} será útil (já que o lado direito usa a soma até n-1).
  • O enunciado afirma que a_{2013} pode ser escrito da forma I\cdot (M)^{E} com I,M,E inteiros positivos, e pede o valor de I+M+E.
O objetivo: encontrar a_{2013} em forma fechada, identificar I,M,E conforme a escrita pedida e então calcular I+M+E.

Passo 2

Introduzir a soma parcial S_{n} e achar uma recorrência para S_{n}.
Defina S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}. Para n\ge 2 temos, usando a definição,
a_{n}=\left(\frac{n+1}{n-1}\right)S_{n-1}.
Somando a_{n} a S_{n-1} obtém-se S_{n}:
S_{n}=S_{n-1}+a_{n}=S_{n-1}+\left(\frac{n+1}{n-1}\right)S_{n-1}.
Fatorando S_{n-1},
S_{n}=S_{n-1}\left(1+\frac{n+1}{n-1}\right)=S_{n-1}\left(\frac{n-1+n+1}{n-1}\right)=S_{n-1}\left(\frac{2n}{n-1}\right).
Também sabemos S_{1}=a_{1}=2. Logo, para n\ge 2,
S_{n}=\frac{2n}{\,n-1\,}\,S_{n-1}.

Passo 3

Resolver a recorrência por produto telescópico.
A relação do passo anterior dá, iterando desde 1 até n,
S_{n}=S_{1}\prod_{k=2}^{n}\frac{2k}{k-1}.
Substituindo S_{1}=2,
S_{n}=2\prod_{k=2}^{n}\frac{2k}{k-1}.
Separe o fator 2 de cada fração:
\prod_{k=2}^{n}\frac{2k}{k-1}=2^{\,n-1}\prod_{k=2}^{n}\frac{k}{k-1}.
Agora a parte \prod_{k=2}^{n}\dfrac{k}{k-1} telescopa. Escrevendo o produto explicitamente:
\prod_{k=2}^{n}\frac{k}{k-1}=\frac{2}{1}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdots\frac{n}{n-1}=\frac{n}{1}=n.
Portanto
S_{n}=2\cdot 2^{\,n-1}\cdot n = n\cdot 2^{\,n}.

Passo 4

Achar a_{n} a partir de S_{n}.
Como a_{n}=S_{n}-S_{n-1}, usando a fórmula para S_{n} temos
a_{n}=n\cdot 2^{n}-(n-1)\cdot 2^{\,n-1}.
Colocando fator comum 2^{\,n-1},
a_{n}=2^{\,n-1}\big(2n-(n-1)\big)=2^{\,n-1}(n+1).
Assim obtivemos a forma fechada
a_{n}=(n+1)\,2^{\,n-1}.

Passo 5

Aplicar a fórmula para n=2013 e identificar I,M,E.
Substituindo n=2013 na fórmula encontrada,
a_{2013}=(2013+1)\,2^{2013-1}=2014\cdot 2^{2012}.
Essa expressão já está na forma I\cdot (M)^{E} tomando I=2014, M=2 e E=2012. (Observação: existem outras decomposições possíveis, por exemplo 1007\cdot 2^{2013}, mas a forma direta da expressão a_{n}=(n+1)2^{n-1} leva naturalmente a I=2014,\\ M=2,\\ E=2012.)

Passo 6

Calcular I+M+E.
Com I=2014, M=2 e E=2012,
I+M+E=2014+2+2012=4028.

Resposta

4028

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