1. PROBLEMA 2.10 - Para avaliar a condição de ciclovias foi desenvolvido um índice de condição que classifica o estado da superfície de cada segmento da ciclovia em uma escala de 0 a 100, sendo 100 aquele em melhores condições. A tabela abaixo mostra os dados de inspeção de vários segmentos da ciclovia em termos de índice de condição (IC) para cada segmento, com a sua idade (ou seja, o número de anos desde a sua construção).
Indice de condição (CI) Idade (anos)
100 0
98 0,5
96 1,2
93 3
100 0
93 2
88 4
86 7
100 0
95 2
90 4
83 8
100 0
92 3
85 6
82 9
81 10
Exige-se que a deterioração das superfícies das ciclovias possa ser expressa pela seguinte equação:
\mathrm{IC}=a+b(\mathrm{IDADE})+c(\mathrm{IDADE})^{2}
Utilizando técnicas de regressão, desenvolva uma curva de previsão de deterioração para as ciclovias.

Passo 1

O enunciado dá n=17 observações do índice de condição \mathrm{IC} em função da idade x=\mathrm{IDADE}, e pede ajuste da forma
\mathrm{IC}(x)=a+b\,x+c\,x^2
usando regressão de mínimos quadrados. Precisamos calcular os somatórios \sum x, \sum x^2, \sum x^3, \sum x^4, \sum y, \sum x\,y e \sum x^2\,y e então resolver o sistema normal para a, b e c.

Passo 2

Calcular os somatórios (aproximações):
\begin{aligned} \sum x&=59{,}7, &\sum x^2&=389{,}69, &\sum x^3&=2999{,}85, &\sum x^4&=25062{,}14,\\\ \sum y&=1562, &\sum x\,y&=5131{,}20, &\sum x^2\,y&=32755{,}74. \end{aligned}
As equações normais ficam então
\begin{cases} 17a + 59{,}7\,b + 389{,}69\,c = 1562,\\\\ 59{,}7\,a + 389{,}69\,b + 2999{,}85\,c = 5131{,}20,\\\\ 389{,}69\,a + 2999{,}85\,b + 25062{,}14\,c = 32755{,}74. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo o sistema por eliminação de Gauss (detalhes de cálculo podem ser feitos em software ou à mão), obtemos aproximadamente
a\approx100{,}24,\quad b\approx-3{,}38,\quad c\approx0{,}153.

Passo 4

Substituindo em \mathrm{IC}(x)=a+b\,x+c\,x^2, a curva de previsão final é
\boxed{\mathrm{IC}(x)\approx100{,}24\;-\;3{,}38\,x\;+\;0{,}153\,x^2.}

Resposta

\mathrm{IC}=100{,}24 - 3{,}38\,(\mathrm{IDADE}) + 0{,}153\,(\mathrm{IDADE})^{2}.

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