1. PROBLEMA 2.18 - Os pedestres chegam a uma interseção semaforizada a uma taxa de 600 pedestres/h. A duração do sinal vermelho para os pedestres nessa interseção é de 45 segundos. Assumindo que o padrão de chegada dos pedestres pode ser descrito usando uma distribuição de Poisson, qual é a probabilidade de que haverá mais de dez pedestres esperando para atravessar ao final do sinal vermelho?

Passo 1

O enunciado descreve chegadas de pedestres segundo um processo de Poisson a uma taxa de 600 pedestres por hora, e pergunta a probabilidade de que, ao fim de 45 segundos de sinal vermelho, mais de dez pedestres tenham chegado.

Passo 2

Precisamos converter a taxa para unidades compatíveis com o tempo de 45 segundos. A taxa em pedestres por segundo é
\lambda = \frac{600}{3600} = \frac{1}{6}\\ (\text{pedestres/segundo}).

Passo 3

Em T=45 segundos, o número de chegadas X é uma variável de Poisson com parâmetro
\mu = \lambda\,T = \frac{1}{6}\times 45 = 7.5.

Passo 4

A probabilidade desejada é
P(X>10) \;=\; 1 - P(X \le 10) \;=\; 1 - \sum_{k=0}^{10} e^{-\mu}\,\frac{\mu^k}{k!} \quad\text{com }\mu=7.5.

Passo 5

Calculando numericamente a soma acumulada \sum_{k=0}^{10} e^{-7.5}7.5^k/k!\approx 0.8621, obtemos
P(X>10) \approx 1 - 0.8621 = 0.1379.

Resposta

A probabilidade de haver mais de dez pedestres esperando é aproximadamente 0.138 (ou 13{,}8\%).

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