Resolva a seguinte integral tripla:

\int_{-4}^{\frac{19}{6}} \int_{\frac{3 x}{2}-\frac{11}{4}}^{2} \int_{6}^{\frac{1}{2}+3 x 2 y} x d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{x=-4}^{19/6}\;\int_{y=\frac{3x}{2}-\frac{11}{4}}^{2}\;\int_{z=6}^{\frac12+6xy}x\;dz\;dy\;dx.
O conteúdo aqui é integração iterada: primeiro em z, depois em y e por fim em x.

Passo 2

Integramos em z, tratando x e y como constantes:
\int_{6}^{\frac12+6xy}x\;dz = x\Bigl[z\Bigr]_{z=6}^{z=\frac12+6xy} = x\Bigl(\tfrac12+6xy-6\Bigr) = x\Bigl(-\tfrac{11}{2}+6xy\Bigr).

Passo 3

Agora integramos em y no intervalo y\in\bigl[\tfrac{3x}{2}-\tfrac{11}{4},\,2\bigr]. Precisamos calcular
\int_{y=\frac{3x}{2}-\frac{11}{4}}^{2} x\Bigl(-\tfrac{11}{2}+6xy\Bigr)\,dy = \int_{\frac{3x}{2}-\frac{11}{4}}^{2} \Bigl(-\tfrac{11}{2}x+6x^2y\Bigr)\,dy.
Uma primitiva em y é
-\tfrac{11}{2}x\,y \;+\; 6x^2\,\frac{y^2}{2} = -\tfrac{11}{2}xy +3x^2y^2.
Avaliando de y=\frac{3x}{2}-\frac{11}{4} até y=2 e simplificando, obtemos como função de x:
-\tfrac{27}{4}x^4+\tfrac{99}{4}x^3-\tfrac{39}{16}x^2-\tfrac{209}{8}x.

Passo 4

Por fim, integramos em x de -4 a 19/6:
\int_{-4}^{19/6}\Bigl(-\tfrac{27}{4}x^4+\tfrac{99}{4}x^3-\tfrac{39}{16}x^2-\tfrac{209}{8}x\Bigr)\,dx.
Calculando a primitiva e avaliando nos limites, chega-se ao valor exato
-\frac{95865103}{34560}.

Resposta

-\frac{95865103}{34560}.

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