1. PROBLEMA 2.30 -Os passageiros chegam à bilheteria de uma estação de trem a uma taxa de 100 passageiros / \mathrm{h}. Estima-se que leve em média 30 segundos para atender cada passageiro na bilheteria. Determine o tempo médio de espera na fila e o número médio de clientes que aguardam.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema de filas em que os passageiros chegam segundo um processo de Poisson com taxa de chegada \lambda = 100 passageiros por hora e são atendidos em média em 30 segundos cada um. Como há um único guichê e o tempo de atendimento é exponencial, trata-se de um modelo M/M/1. Precisamos encontrar o tempo médio de espera na fila W_q e o número médio de clientes na fila L_q.

Passo 2

Primeiro convertemos o tempo médio de atendimento em uma taxa de serviço. Um atendimento leva em média 30 segundos, ou seja,
\text{tempo médio} = \frac{30}{3600}\,\text{h} = \frac{1}{120}\,\text{h}.é
Portanto a taxa de serviço é
\mu = \frac{1}{(1/120)\,\text{h}} = 120\\ \text{clientes/hora}.

Passo 3

Calculamos a intensidade de tráfego (fator de ocupação)
\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{100}{120} = \frac{5}{6}\approx 0{,}8333.

Passo 4

No modelo M/M/1, o tempo médio de espera na fila W_q é dado por
W_q = \frac{\rho}{\mu - \lambda}.

Passo 5

Substituindo os valores:
W_q = \frac{5/6}{120 - 100} = \frac{5/6}{20} = \frac{5}{120} = \frac{1}{24}\,\text{hora}.
Convertendo para minutos:
W_q = \frac{1}{24}\times 60\\ \text{min} = 2{,}5\\ \text{min}.

Passo 6

O número médio de clientes na fila L_q é
L_q = \lambda\,W_q.

Passo 7

Substituindo \lambda = 100 clientes/hora e W_q = 1/24 h:
L_q = 100 \times \frac{1}{24} = \frac{100}{24}\approx 4{,}17\\ \text{clientes}.

Resposta

Tempo médio de espera na fila: W_q = 2{,}5 minutos.
Número médio de clientes na fila: L_q \approx 4{,}17.

Exercícios relacionados