Resolva a seguinte integral tripla:

\int_{-4}^{\frac{19}{6}} \int_{\frac{3 x}{2}-\frac{11}{4}}^{2} \int_{6}^{\frac{1}{2}+3 x-2 y} x d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{x=-4}^{19/6}\int_{y=\tfrac{3x}{2}-\tfrac{11}{4}}^{2}\int_{z=6}^{\,\tfrac12+3x-2y}x\,dz\,dy\,dx.
O conteúdo usado será integração iterada em ordem dz\,dy\,dx. Vamos primeiro integrar em z, depois em y e finalmente em x.

Passo 2

Integral interna em z:
\int_{z=6}^{\,\tfrac12+3x-2y}x\,dz =x\Bigl[\bigl(\tfrac12+3x-2y\bigr)-6\Bigr] =x\bigl(3x-2y-\tfrac{11}{2}\bigr).
Logo a integral tripla vira
\int_{x=-4}^{19/6}\int_{y=\tfrac{3x}{2}-\tfrac{11}{4}}^{2} x\bigl(3x-2y-\tfrac{11}{2}\bigr)\,dy\,dx.

Passo 3

Expandindo o integrando antes de integrar em y:
x\bigl(3x-2y-\tfrac{11}{2}\bigr) =3x^2-2xy-\tfrac{11}{2}x.
Integramos em y de y_0=\tfrac{3x}{2}-\tfrac{11}{4} até 2:
\int_{y=y_0}^{2}(3x^2-2xy-\tfrac{11}{2}x)\,dy =(3x^2-\tfrac{11}{2}x)\bigl(2-y_0\bigr) -2x\int_{y_0}^{2}y\,dy.
Como
2-y_0=2-\Bigl(\tfrac{3x}{2}-\tfrac{11}{4}\Bigr) =\tfrac{19}{4}-\tfrac{3x}{2}, \quad \int_{y_0}^{2}y\,dy=\frac{2^2-y_0^2}{2},
temos após expansão um polinômio em x.

Passo 4

Fazendo todas as contas de álgebra (expandindo e reunindo grau por grau) chega-se a
\int_{x=-4}^{19/6}\Bigl(-\tfrac{9}{4}x^3+\tfrac{57}{4}x^2-\tfrac{361}{16}x\Bigr)\,dx.

Passo 5

Obtemos uma primitiva
F(x)=-\tfrac{9}{16}x^4+\tfrac{19}{4}x^3-\tfrac{361}{32}x^2.
Assim a integral é
F\bigl(\tfrac{19}{6}\bigr)-F(-4).

Passo 6

Calculando
F\bigl(\tfrac{19}{6}\bigr)=-\frac{130321}{6912}, \quad F(-4)=-\frac{1257}{2},
segue
F\bigl(\tfrac{19}{6}\bigr)-F(-4) =\,-\frac{130321}{6912} +\frac{1257}{2} =\frac{4213871}{6912}.

Resposta

\frac{4213871}{6912}

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