Problema 10. (Competição Americana de Matemática de 2009) Seja
, onde
, b e c são números complexos. Suponha que
. Qual é o número de zeros não reais de
?
a) 4
b) 6
c) 8
d)10
e) 12
a) 4
b) 6
c) 8
d)10
e) 12
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Dado:
, com complexos. - O enunciado afirma que
-
, -
, -
.
-
- Pergunta: qual é o número de zeros não reais do polinômio
?
Passo 2
Observar a relação entre os polinômios. Se em
substituímos
por
obtemos
que é exatamente o polinômio cujo número de zeros queremos contar. Portanto zeros de
são os mesmos zeros de
.
Passo 3
Relação entre zeros: se
é raiz de
, isto é
, então qualquer solução
de
satisfaz
, logo é raiz de
. Assim, para cada raiz
de
obtemos as quatro raízes quarto-raízes de
como raízes de
. Como
é de grau
e tem exatamente as três raízes dadas no enunciado, o polinômio
terá
raízes (contando multiplicidade), compatível com o grau
.
Explicação geral sobre raízes quartas de um número complexo: seja
escrito em forma polar
com
. As quatro raízes de
são
Elas estão distribuídas com argumentos
. Se
for real positivo (
) então os argumentos são
, dando duas raízes reais (
) e duas não reais (
). Se
for não real, nenhum desses quatro argumentos será
nem
simultaneamente de modo a produzir uma raiz real; portanto todas as quatro raízes serão não reais.
Passo 4
Aplicar isso às raízes concretas de
.
- Raiz
. É um número real e positivo. As quatro raízes de são ou seja . Dessas quatro, duas são reais ( e ) e duas são não reais ( e ). Contribuição para o total de zeros não reais: .
Passo 5
- Raiz
. Mesmo raciocínio: real positivo, suas quatro quartas raízes são dando duas raízes reais e duas não reais. Contribuição para zeros não reais: .
Passo 6
- Raiz
. Esta raiz é não real (tem parte imaginária ). Para um número complexo não real, suas quatro quartas raízes têm argumentos com , portanto nenhuma dessas quatro raízes tem argumento ou ; em particular nenhuma é um número real. Logo as quatro quartas raízes de são todas não reais. Contribuição para zeros não reais: .
Observação intuitiva simples: se
fosse real então
seria real; como
não é real, não pode haver
real com
. Assim as quatro soluções são não reais.
Passo 7
Somando as contribuições:
- da raiz
: zeros não reais; - da raiz
: zeros não reais; - da raiz
: zeros não reais.
Total de zeros não reais de
: