Problema 10. (Competição Americana de Matemática de 2009) Seja p(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c, onde a, b e c são números complexos. Suponha que p(2009+9002 i)=p(2009)=p(9002)=0. Qual é o número de zeros não reais de x^{12}+a x^{8}+b x^{4}+c ?
a) 4
b) 6
c) 8
d)10
e) 12

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dado: p(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c, com a,b,c complexos.
  • O enunciado afirma que
    • p(2009+9002\,i)=0,
    • p(2009)=0,
    • p(9002)=0.
  • Pergunta: qual é o número de zeros não reais do polinômio \;x^{12}+a x^{8}+b x^{4}+c\; ?

Passo 2

Observar a relação entre os polinômios. Se em p substituímos x por x^{4} obtemos
p(x^{4})=(x^{4})^{3}+a(x^{4})^{2}+b(x^{4})+c = x^{12}+a x^{8}+b x^{4}+c,
que é exatamente o polinômio cujo número de zeros queremos contar. Portanto zeros de p(x^{4}) são os mesmos zeros de x^{12}+a x^{8}+b x^{4}+c.

Passo 3

Relação entre zeros: se r é raiz de p, isto é p(r)=0, então qualquer solução x de
x^{4}=r
satisfaz p(x^{4})=p(r)=0, logo é raiz de p(x^{4}). Assim, para cada raiz r de p obtemos as quatro raízes quarto-raízes de r como raízes de p(x^{4}). Como p é de grau 3 e tem exatamente as três raízes dadas no enunciado, o polinômio p(x^{4}) terá 3\cdot4=12 raízes (contando multiplicidade), compatível com o grau 12.
Explicação geral sobre raízes quartas de um número complexo: seja r\neq0 escrito em forma polar r=\rho e^{i\theta} com \rho>0. As quatro raízes de r são
x_k=\rho^{1/4} e^{i(\theta+2\pi k)/4},\qquad k=0,1,2,3.
Elas estão distribuídas com argumentos (\theta/4)+\pi k/2. Se r for real positivo ( \theta=0) então os argumentos são 0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2}, dando duas raízes reais ( \theta=0,\pi) e duas não reais ( \theta=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}). Se r for não real, nenhum desses quatro argumentos será 0 nem \pi simultaneamente de modo a produzir uma raiz real; portanto todas as quatro raízes serão não reais.

Passo 4

Aplicar isso às raízes concretas de p.
  • Raiz \;r_{1}=2009. É um número real e positivo. As quatro raízes de x^{4}=2009 são 2009^{1/4} e^{i\pi k/2},\quad k=0,1,2,3,ou seja 2009^{1/4},\; i\,2009^{1/4},\; -2009^{1/4},\; -i\,2009^{1/4}. Dessas quatro, duas são reais ( 2009^{1/4} e -2009^{1/4}) e duas são não reais ( i\,2009^{1/4} e -i\,2009^{1/4}). Contribuição para o total de zeros não reais: 2.

Passo 5

  • Raiz \;r_{2}=9002. Mesmo raciocínio: 9002>0 real positivo, suas quatro quartas raízes são 9002^{1/4} e^{i\pi k/2},\quad k=0,1,2,3,dando duas raízes reais e duas não reais. Contribuição para zeros não reais: 2.

Passo 6

  • Raiz \;r_{3}=2009+9002\,i. Esta raiz é não real (tem parte imaginária \neq0). Para um número complexo não real, suas quatro quartas raízes têm argumentos (\theta/4)+\pi k/2 com \theta\not\equiv 0\pmod{\pi}, portanto nenhuma dessas quatro raízes tem argumento 0 ou \pi; em particular nenhuma é um número real. Logo as quatro quartas raízes de r_{3} são todas não reais. Contribuição para zeros não reais: 4.
Observação intuitiva simples: se x fosse real então x^{4} seria real; como r_{3} não é real, não pode haver x real com x^{4}=r_{3}. Assim as quatro soluções são não reais.

Passo 7

Somando as contribuições:
  • da raiz 2009: 2 zeros não reais;
  • da raiz 9002: 2 zeros não reais;
  • da raiz 2009+9002\,i: 4 zeros não reais.
Total de zeros não reais de x^{12}+a x^{8}+b x^{4}+c:
2+2+4=8.

Resposta

8

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