Problema 08. (Competição Americana de Matemática de 2025) Seja \omega um número complexo (2+i), onde i=\sqrt{-1}. Que número real r tem a propriedade de que r, \omega e \omega^{2} são três pontos colineares no plano complexo?
a) 3 / 4
b) 1
c) 7 / 5
d) 3 / 2
e) 5 / 3

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Seja \omega o número complexo (2+i), onde i=\sqrt{-1}.
  • Queremos achar o número real r tal que os pontos correspondentes a r, \omega e \omega^{2} sejam colineares no plano complexo.
O que o problema pede:
  • Determinar o valor real de r que faz com que os três pontos (representados por esses complexos) fiquem numa mesma reta.

Passo 2

Primeiro calculamos \omega^{2}. Multiplicar complexos é como multiplicar binômios:
\omega = 2+i
\omega^{2} = (2+i)^{2} = 2^{2} + 2\cdot2\cdot i + i^{2} = 4 + 4i + i^{2}.
Como i^{2} = -1, então
\omega^{2} = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i.

Passo 3

Agora associamos cada número complexo ao ponto no plano (parte real, parte imaginária):
  • O número real r corresponde ao ponto \bigl(r,0\bigr).
  • \omega = 2+i corresponde ao ponto \bigl(2,1\bigr).
  • \omega^{2} = 3+4i corresponde ao ponto \bigl(3,4\bigr).
Para que três pontos \bigl(x_1,y_1\bigr), \bigl(x_2,y_2\bigr), \bigl(x_3,y_3\bigr) sejam colineares, uma maneira simples é exigir que as inclinações (declives) entre pares consecutivos sejam iguais, isto é:
\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2},
desde que os denominadores não sejam zero. Essa é a fórmula do coeficiente angular (declive) de uma reta entre dois pontos.

Passo 4

Aplicando a condição de declive aos pontos \bigl(r,0\bigr), \bigl(2,1\bigr), \bigl(3,4\bigr), primeiro calculamos o declive entre \bigl(2,1\bigr) e \bigl(3,4\bigr):
\text{declive}_{23}=\frac{4-1}{3-2}=\frac{3}{1}=3.
Portanto a reta que passa por \bigl(2,1\bigr) e \bigl(3,4\bigr) tem declive 3.
Para colinearidade, o declive entre \bigl(r,0\bigr) e \bigl(2,1\bigr) deve ser também 3. Esse declive é
\text{declive}_{12}=\frac{1-0}{2-r}=\frac{1}{2-r}.

Passo 5

Igualando os declives:
\frac{1}{2-r}=3.
Agora resolvemos essa equação para r. Invertendo ambos os lados (ou multiplicando):
1 = 3(2-r),
1 = 6 - 3r,
3r = 6 - 1 = 5,
r = \frac{5}{3}.

Passo 6

Verificação rápida: com r=\dfrac{5}{3}, o declive entre \bigl(r,0\bigr) e \bigl(2,1\bigr) é \dfrac{1}{2-\tfrac{5}{3}}=\dfrac{1}{\tfrac{1}{3}}=3, que coincide com o declive entre \bigl(2,1\bigr) e \bigl(3,4\bigr). Logo os três pontos são colineares e o valor encontrado está correto.

Resposta

\dfrac{5}{3}

Exercícios relacionados