Problema 08. (Competição Americana de Matemática de 2025) Seja
um número complexo
, onde
. Que número real
tem a propriedade de que
são três pontos colineares no plano complexo?
a)
b) 1
c)
d)
e)
a)
b) 1
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Seja
o número complexo , onde . - Queremos achar o número real
tal que os pontos correspondentes a , e sejam colineares no plano complexo.
O que o problema pede:
- Determinar o valor real de
que faz com que os três pontos (representados por esses complexos) fiquem numa mesma reta.
Passo 2
Primeiro calculamos
. Multiplicar complexos é como multiplicar binômios:
Como
, então
Passo 3
Agora associamos cada número complexo ao ponto no plano (parte real, parte imaginária):
- O número real
corresponde ao ponto . -
corresponde ao ponto . -
corresponde ao ponto .
Para que três pontos
,
,
sejam colineares, uma maneira simples é exigir que as inclinações (declives) entre pares consecutivos sejam iguais, isto é:
desde que os denominadores não sejam zero. Essa é a fórmula do coeficiente angular (declive) de uma reta entre dois pontos.
Passo 4
Aplicando a condição de declive aos pontos
,
,
, primeiro calculamos o declive entre
e
:
Portanto a reta que passa por
e
tem declive
.
Para colinearidade, o declive entre
e
deve ser também
. Esse declive é
Passo 5
Igualando os declives:
Agora resolvemos essa equação para
. Invertendo ambos os lados (ou multiplicando):
Passo 6
Verificação rápida: com
, o declive entre
e
é
, que coincide com o declive entre
e
. Logo os três pontos são colineares e o valor encontrado está correto.