Problema 10 Conhecendo a equação geral das cônicas A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0, determine os coeficientes A, B, C e use o discriminante B^{2}-4 A C para decidir, em cada item abaixo, qual cônica é descrita pela equação dada.
x y=4

Passo 1

O enunciado pede que a gente identifique, na forma geral das cônicas
A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0,
os coeficientes A,B,C para a equação dada x y=4 e, em seguida, use o discriminante
\Delta = B^{2}-4AC
para decidir se a curva é elipse, parábola ou hipérbole.

Passo 2

Trazendo x y=4 para a forma geral, subtraímos 4 de ambos os lados e obtemos
x y - 4 = 0.

Passo 3

Comparando
x y - 4 = 0
com
A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0,
vemos que
A=0, B=1, C=0, D=0, E=0 e F=-4.

Passo 4

Calculamos o discriminante:
\Delta = B^{2}-4AC = 1^{2} - 4\cdot0\cdot0 = 1.
Como \Delta>0, concluímos que a cônica é uma hipérbole.

Resposta

A=0, B=1, C=0 e a curva x y=4 é uma hipérbole.

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